積分回路で作るアナログ・コンピュータ

■問題

【演算回路　計算機　LT1013　ADG5419 】

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，積分回路を使用した，アナログ・コンピュータを模擬した回路⁽¹⁾です．X₁～X₄は，OPアンプで構成した積分回路に，初期値設定用のアナログ・スイッチを追加した回路ユニットとなっています．
　このアナログ・コンピュータは，砲丸を投げたときの軌跡を解析するように配線されています．Y端子の電圧が砲丸の高さを表し，X端子の電圧が投げた位置からの距離を表しています．
　式(a)～(d)は，X₁～X₄それぞれの積分回路の動作を表しています．積分回路の動作を表す数式として誤っているのは，式(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　積分回路を使用したアナログ・コンピュータを模擬した回路
積分回路の動作を表す数式として誤っているのはどれ？

式(a)
式(b)
式(c)
式(d)

■ヒント

　アナログ・コンピュータは，アナログ電圧を数値とみなし，積分回路と係数回路，加算回路を組み合わせて微分方程式を解きます．X₁～X₄内の積分回路の出力が，どのような数式で表されるかを考えれば，答えは簡単に分かります．

■解答

　式(a)　

　式(a)～(d)は，X₁～X₄それぞれの積分回路の動作を表しています．
　X₁の積分回路は，「-(dy/dt)」に係数(0.014)を掛けたものと，「-9.8」を入力とし，反転積分した「-(dy/dt)」を出力します．式(a)は積分記号内の「dy/dt」の符号がプラスになっているため誤りです．
　X₂の積分回路は，「-(dy/dt)」を入力とし，反転積分した「y」を出力します．これは式(b)の動作と一致するため，式(b)は正しい式です．
　X₃の積分回路は，「-(dx/dt)」に係数(0.014)を掛けたものを入力とし，反転積分した「-(dx/dt)」を出力します．これを数式にすると，式(c)と同じなので，式(c)は正しい式です．
　X₄の積分回路は，「-(dx/dt)」を入力とし，反転積分した「x」を出力します．これは式(d)の動作と一致するため、式(d)は正しい式です．
　このように，式(a)～(d)の中で誤っているのは「式(a)」となります．

■解説

●アナログ・コンピュータとは
　アナログ・コンピュータは，微分方程式の問題を簡単，高速に解くために，1950年代に開発されたものです．「0と1」の組み合わせで演算するデジタル・コンピュータとは異なり，アナログ電圧を数値とみなして演算を行います．
　そのアナログ・コンピュータは，積分器，係数器，加算器で構成されています．これらを構成するために必要になったのが，高入力インピーダンスで高ゲインの増幅回路です．その増幅回路は演算増幅器という名前で呼ばれ，現在のOPアンプの基となっています．
　解きたい問題に合わせて，積分器と係数器，加算器の配線を変更する必要があります．この配線の変更がプログラムに相当します．
　実際のアナログ・コンピュータでは，写真1のように，多数用意されたジャックに，コードのついたプラグを差し込んで配線を変更し，ポテンショ・メータで係数を設定することで，プログラムを行っていました．そして，結果の表示には，XYペン・プロッタやオシロスコープが使われていました．

写真1　ヒースキットEC-1アナログ・コンピュータ（写真：Wikimedia Commons，パブリック・ドメイン）

●アナログ・コンピュータを構成する加算積分器
　図2は，アナログ・コンピュータの最も重要な構成要素である，加算積分器の記号です．

図2　3入力加算積分器の記号
出力は，それぞれの入力を積分したものに係数を掛け，加算したもの．

　加算積分器の出力は，それぞれの入力を積分したものに係数を掛け，加算したもので，式1で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　実際の回路では加算積分器は，反転増幅回路で構成するため，出力の符号は反転したものになります．そのため，図2の記号は，出力の符号が反転することを示すために，出力に丸印をつけています.ただし，一般的なアナログ・コンピュータの資料では，丸印をつけない記号が多く使われています．

●反転増幅回路で加算積分器を構成
　図3は，図2の加算積分器をOPアンプで構成したもので，コンデンサで帰還をかけた反転増幅回路となっています．

図3　OPアンプで構成した加算積分回路
コンデンサで帰還をかけた反転増幅回路となっている．

　この回路の出力電圧は，式2で表されます．

・・・・・・・・・・(2)

　図2の係数(K1～K3)は，「K1=1/(C_f*R₁)，K2=1/(C_f*R₂)，K3=1/(C_f*R₃)」になります．

●加算積分器に初期値を設定する
　アナログ・コンピュータでの計算の内容によっては，積分器の出力の初期値を，特定の値に設定する必要があります．
　図4は，図3の回路に，初期値を設定するためのリレー・スイッチを追加した回路です．

図4　初期値を設定するためのリレーを追加した加算積分回路
初期化のときだけリレー(SW₁，SW₂)をコントロールし，R₄，R₅を接続する．

　初期化のときだけリレー(SW₁，SW₂)をONさせ，R₄，R₅を積分回路に接続します．ここで「R₄=R₅=R」とすると，出力電圧はR・C_fの時定数で変化し，最終的には「-V_i」で安定します．その後，リレーをOFFさせると通常の積分器として働きます．

●積分器で微分方程式を解く
　アナログ・コンピュータで微分方程式を解くときに使用するのは，微分器ではなく積分器です．理想的な微分器を実現しようとすると，広い帯域やダイナミックレンジの増幅回路が必要になり，実現するのが困難なためです．では，積分器を使用して微分方程式を解くにはどのようにすればよいか，式3の微分方程式を例に考えてみます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　まず式3を式4のように変形します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　次に式4の両辺を積分すると式5が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式3は，左辺が求めたい変数「x」になっていますが，右辺にも変数「x」が存在します．このような方程式は，積分器に帰還を掛けることで求めることができます．
　式3を図2の積分器の記号を使用してブロック図にしたものが図5になります．

図5　積分器を使用して微分方程式の解を求める方法
「dx/dt+a_x=0」という微分方程式を解くためのブロック図．

　積分器の入力は「x」です．そして，積分器の出力は「a_x」を積分し，反転したものになります．
　図5では，入力と出力が接続されているため，積分器の入力と出力が等しくなり，式3が成立することになります．

●砲丸投げの軌跡をアナログ・コンピュータで解析
　アナログ・コンピュータの代表的な用途の1つが「大砲の砲弾の軌跡を解析する」というものだったようです．ここでは，図6のような，砲丸投げの選手が投げた砲丸の軌跡を解析してみます．

図6　砲丸投げの選手が砲丸を投げたときのイメージ図
高さ1.8mから速度v，角度θで投げたときの軌跡を解析する．

　前提条件としては，砲丸の重さは7.26kgで，速度に比例した空気抵抗を受けるものとし，空気抵抗の係数(k_t)は0.1[kg/s]とします．また，砲丸が手から離れたときの高さは1.8mとし，投げたときの速度はv=10[m/s]とします．そして，投げる角度θを30°，45°，60°，75°の4通りに変化させて，軌跡を解析します．

●砲丸投げの微分方程式
　まず，前提条件をもとに，微分方程式を立てます．求める必要がある変数は，垂直方向の高さ(y)と，横方向の距離(x)です．砲丸の質量をm[kg]，ｙ方向の加速度を「ay」，x方向の加速度を「a_x」，重力加速度を「g=9.8[m/s²]」とし，砲丸のy方向の速度を「vy[m/s]」，x方向の速度を「v_x[m/s]」とします．
　y方向に加わる力は重力による力と空気抵抗で，yの上方向を正とすると，式6が成立します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　加速度ayがd²y/dt²で表され，速度vyがdy/dtで表されるため，式6は，式7のように変形できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式7の両辺をmで割ると，式8が得られます．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　x方向に加わる力は空気抵抗だけなので，x方向の加速度をa_xとすると，式9が成立します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　加速度a_xがd²x/dt²で表され，速度v_xがdx/dtとなるので，式9は，式10のように変形できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　式10の両辺をmで割ると，式11が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　式8に，空気抵抗や重量および重力加速度の値を代入すると，式12が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

　同様に，式11に値を代入すると，式13が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13)

　式12および式13が，今回アナログ・コンピュータを使用して解く，微分方程式になります．

●砲丸投げのy軸の微分方程式を解く
　式3と同様の手法で，式12の微分方程式を解いていきます．式12の両辺を積分し，符号を反転すると，式14が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(14)

-dy/dtを反転積分することで，式15のようにyが得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(15)

　式14および式15をブロック図にまとめたものが，図7になります．

図7　砲丸の軌跡のy軸を計算するためのブロック図

　積分器(S₁)で式14を解き，積分器(S₂)で式15を解いています．積分器の入力の前にある，まる印のブロックは，ポテンショメータを表しています．ポテンショメータは，摺動子の位置を変えることで，入力電圧を任意の値に分圧することができるものです．
　図7で砲丸の軌跡を計算するためには，積分器の出力の初期値を設定する必要があります．S₁の初期値は，y方向の速度を符号を反転して設定します．砲丸を投げた瞬間(時間t=0)のy方向の速度v_0yは式16で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(16)

　S₂の初期値は，砲丸を投げたときの高さの1.8mを設定します．

●砲丸投げのx軸の微分方程式を解く
　次に，式13の微分方程式を解いていきます．式13の両辺を積分し，符号を反転すると，式17が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(17)

　-dx/dtを反転積分すると，式18のようにxが得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(18)

　式17および式18をブロック図にまとめると，図8になります．

図8　砲丸の軌跡のx軸を計算するためのブロック図

　積分器(S₃)で式17を解き，積分器(S₄)で式18を解いていますが，これらの積分器も初期値を設定する必要があります．
　S₃の初期値はx方向の速度を，符号を反転して設定します．砲丸を投げた瞬間(時間t=0)のx方向の速度v0xは式19で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(19)

　S₄の初期値は，砲丸を投げたときのx軸の値なので0を設定します．

●初期値設定機能付きの積分回路ユニット

　図9は，OPアンプ(LT1013)⁽²⁾とアナログ・スイッチ(ADG5419)⁽³⁾で構成した，初期値設定機能付きの積分回路ユニットです．

図9　OPアンプとアナログ・スイッチで構成した，初期値設定機能付きの積分回路ユニット

　そして，図10は，図9の回路をサブ・サーキットとして使用するためのシンボルです．Init端子をHiレベルとすることで，積分回路の出力電圧を任意の値に設定することができます．このシンボルを使用して，図7と図8のブロック図を回路図に変換します．

図10　初期値設定機能付きの積分回路ユニットのサブサーキット・シンボル
Init端子をHiレベルとすることで，積分回路の出力電圧を任意の値に設定できる．

●砲丸投げの軌跡を解析する回路
　図11は，図7と図8のブロック図を回路図に変換したもので，図1と同じ回路です．積分回路の係数(k)は，すべてのブロックで，帰還容量を1μFとし，入力抵抗を1000kΩとすることで「k=1/(1μ*1000k)=1」としています．

図11　砲丸を投げたときの軌跡を解析する回路
解析直後に(X₁～X₄)内のスイッチをONさせて，積分回路に初期値を設定する．

　この回路のトランジェント解析を行い，砲丸を投げたときの軌跡をシミュレーションします．解析直後は，Init端子をHiレベルとし，(X₁～X₄)内のスイッチをONさせて，積分回路に初期値を設定します．回路図中の吹き出しが初期値の値です．
　X₁の初期値は，Y方向の速度を反転したものなので，「-10sin(θ）」という値に設定します．X₂の初期値は，砲丸が手を離れる瞬間の高さの1.8という値を設定します．
　また，X₃の初期値はX方向の速度を反転したものなので，「-10cos(θ）」という値に設定します．X₄の初期値は，砲丸から手を離した瞬間のx軸の値なので，0を設定します．
　そして「.step」コマンドでθの値を30°から75°まで15°ステップで変化させます．
　図12は，図11の解析結果です．X軸を時間からX端子の電圧に変更しています．そのため，横軸が砲丸を投げた位置からの距離を表し，縦軸が砲丸の高さを表しています．4つのシミュレーション結果の中では，角度45°で投げたときの飛距離が一番大きく，11.6mとなっています．