アンチエイリアシング・フィルタと3種類の特性

■問題

【フィルタ回路　オーディオ回路　AD8602 】

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，A-Dコンバータ用のアンチエイリアシング・フィルタ(anti-aliasing filter)です．OPアンプ(AD8602)⁽¹⁾を使用したサレンキー型フィルタを，3段縦続接続し，6次バタワース特性のフィルタを構成しています．A-Dコンバータのサンプリング周波数は50kHzで，フィルタのカットオフ周波数は20kHzとなっています．

図1　A-Dコンバータ用のサレンキー型アンチエイリアシング・フィルタ
サレンキー型フィルタを，3段縦続接続し，6次バタワース特性のフィルタを構成．

　図1のフィルタ特性は「バタワース」となっていますが，フィルタ特性としては他に「チェビシェフ」や「ベッセル」があります．表1はこの3つのフィルタ特性を，遮断特性が急峻な順番に並べたものです．正しいのは，(a)～(d)のどの順番でしょうか．

表1　3つのフィルタ特性を，遮断特性が急峻な順番に並べたもの

	急峻	中間	緩やか
(a)の順番	バタワース	ベッセル	チェビシェフ
(b)の順番	ベッセル	チェビシェフ	バタワース
(c)の順番	チェビシェフ	バタワース	ベッセル
(d)の順番	ベッセル	バタワース	チェビシェフ

■ヒント

　アンチエイリアシング・フィルタは，アナログ信号をA-D変換する際に発生する，エイリアシング(折り返し雑音)を低減するためのローパス・フィルタです．図1のアンチエイリアシング・フィルタは，抵抗とコンデンサの値を変更するだけで，「バタワース」や「チェビシェフ」，「ベッセル」などの3つのフィルタ特性にすることができます．3つのフィルタ特性は，「通過帯域の平坦さ」や「遮断特性の急峻さ」，「パルス波形の再現性」でそれぞれ特徴があります．

■解答

	急峻	中間	緩やか
(c)の順番	チェビシェフ	バタワース	ベッセル

　チェビシェフ特性は，通過帯域内のリップル特性を犠牲にすることで，3つの中で，一番急峻な減衰特性を実現しています．
　バタワース特性は，通過帯域の平坦さに優れますが，遮断特性は3つの中の中間的な特性となっています．
　ベッセル特性は，パルス波形の再現性を重視し，位相特性は優れていますが，遮断特性は3つの中で最も緩やかとなっています．そのため，遮断特性が急峻な順番に並んでいるのは「(c)の順番」ということになります．

■解説

●アンチエイリアシング・フィルタとは
　アナログ信号をデジタル信号に変換(サンプリング)する場合，元の波形を正しく再現できるのは，サンプリング周波数の1/2未満の周波数の信号です．サンプリング周波数の1/2をナイキスト周波数(Nyquist frequency)と呼び，A-D変換器が扱える周波数の限界を表します．
　もし，A-D変換器にナイキスト周波数以上の信号を入力すると，エイリアシング(折り返し雑音)と呼ばれる，不要な信号が発生してしまいます．サンプリング周波数をf_Sとし，入力周波数をf_inとすると，折り返し雑音の周波数(f_N)は，式1で計算することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　例えば，サンプリング周波数50kHzのA-Dコンバータに，40kHzの信号を入力すると，式2のように，A-D変換出力には，10kHzの折り返し雑音が発生することになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　折り返し雑音を低減するためには，A-D変換器に入力する前に，ナイキスト周波数以上の信号を減衰させる必要があります．そのために使用するローパス・フィルタを，アンチエイリアシング・フィルタと呼びます．

●A-D変換器で発生する折り返し雑音の検証
　図2は，A-D変換器で折り返し雑音が発生することをシミュレーションで確認するための回路です．逐次比較型A-DコンバータのAD4000⁽²⁾のモデルを使用して，A-D変換後の信号を確認します．

図2　A-D変換器で折り返し雑音が発生することをシミュレーションで確認するための回路
AD4000のLTspiceモデルはデジタル信号ではなく，DA変換したアナログ信号を出力する．

　AD4000のLTspiceモデルは，実際の製品とは異なり，デジタル信号ではなく，デジタル信号を再度D-A変換したアナログ信号を出力します．この信号をローパス・フィルタ(X₁)を介して観察します．なお，X₁は電圧制御電圧源を使用した，5次バタワース特性のローパス・フィルタです．
　サンプリング周波数を50kHzとするため，CNV端子に50kHzのパルス波を入力します．そして，IN端子にピーク電圧1Vの正弦波を入力します．正弦波の周波数は「.step」コマンドで，20kHzと40kHzに変化させます．これは，ナイキスト周波数未満の信号と，ナイキスト周波数以上の信号の，出力の違いを確認するためです．

▼20kHzの信号を入力
　図3は，図2のサンプリング周波数50kHzのA-DコンバータのIN端子に，20kHzの信号を入力したときのシミュレーション結果です．上段が入力信号，中段がAD_DA端子の信号，下段がOUT端子の信号です．

図3　図2に20kHzの信号を入力したときのシミュレーション結果
OUT端子の信号は，入力信号と同じ周波数の信号となっている．

　OUT端子の信号は，AD_DA端子の信号のローパス・フィルタ後の信号です．ローパス・フィルタの影響により，OUT端子の信号の振幅は若干小さくなっていますが，周波数は入力信号と同じ20kHzとなっています．

▼40kHzの信号を入力
　図4は，図2のサンプリング周波数50kHzのA-DコンバータのIN端子に，40kHzの信号を入力したときのシミュレーション結果です．図3と同様，上段が入力信号，中段がAD_DA端子の信号，下段がOUT端子の信号です．

図4　図2に40kHzの信号を入力した時のシミュレーション結果
OUT端子の信号は，10kHzの折り返し雑音となっている．

　OUT端子の信号は，入力信号の周波数とは異なる，10kHzの信号となっています．これがエイリアシング(折り返し雑音)です．

●代表的な3つのフィルタ特性の特徴
　フィルタには，「サレンキー」，「多重帰還」，「状態変数」などの回路形式による分類とは別に，「バタワース」，「チェビシェフ」，「ベッセル」などのフィルタ特性による分類があります．それぞれのフィルタ特性は，「通過帯域の平坦さ」，「遮断特性」，「パルス応答性」などが異なっています．表2は，代表的な3つのフィルタ特性の特徴をまとめたものです．

表2　代表的な3つのフィルタ特性の特徴

特性	通過帯域の平坦さ	遮断特性	パルス応答性
チェビシェフ (Chebyshev)	通過帯域にゲインの波 (リップル)がある	遮断周波数付近で，最も急峻に減衰する	リンギングやオーバー・シュートが発生
バタワース (Butterworth)	通過帯域は完全にフラット	遮断特性は，中間的	パルス応答は中間的
ベッセル (Bessel)	緩やかに下がる	遮断特性は緩やか	リンギングやオーバー・シュートなく良好

　一般的なフィルタでは，特性バランスの良いバタワースがよく使われます．バタワースよりも急峻な遮断特性が必要な場合は，チェビシェフを選択し，パルス応答が重要な場合は，ベッセルを選択することになります．

●バタワース特性のフィルタを設計する
　通常，フィルタを設計する場合は，まず，必要な通過帯域からカットオフ周波数を決め，減衰させたい周波数の減衰量の目標値を決めます．そして，フィルタの回路形式とフィルタ特性を選択します．さらに，目標減衰量から，必要な次数を計算し，選択したフィルタ特性となるよう，CRの定数を計算することになります．次数の高いフィルタを設計しようとすると，かなり煩雑な作業が必要になります．

▼フィルタ設計ツール
　そこで，今回はフィルタ設計ツールを使用した設計方法を紹介します．今回使用するのは，アナログ・デバイセズの「アナログ・フィルター・ウィザード」⁽³⁾という，ウェブ・ベースのツールです．フィルタの仕様を入力すると，その仕様を満たすフィルタの回路図を提示してくれます．今回はこのツールを使用し，それぞれ6次のバタワース，チェビシェフ，ベッセルのフィルタを設計します．

▼仕様入力
　アナログ・フィルター・ウィザードでは，1番最初に，[タイプ]の画面で，設計するフィルタの種類を[ローパス]，[ハイパス]，[バンドパス]から選択します．ここでは[ローパス]を選択します．
　次に，[仕様]の画面でフィルタ仕様を入力します．図5が仕様を入力する画面です．ここでは，[パスバンド](通過帯域の仕様)の入力欄に，ゲインを「0dB」，「-3dB」となる周波数を「20kHz」と入力します．

図5　アナログ・デバイセズ社のアナログ・フィルタ―・ウィザード
フィルタの仕様を入力すると，その仕様を満たすフィルタの回路図が表示される．

　次に[ストップバンド]（阻止帯域）の仕様入力欄で，目標減衰量を「-35dB」，そのときの周波数を「40kHz」と入力します．入力すると，左下に「6次バタワース(3段)」と表示されます．画面上のグラフが，設計されたフィルタの周波数特性となっています．また，[フィルター応答](フィルタ特性選択スライダ)を操作することで，チェビシェフ特性やベッセル特性とすることもできます．

▼部品選択
　次に，[部品選択]の画面を表示します．値はデフォルト値のままで「部品の公差」画面(図6)に移動します．図6に表示されている回路図が，今回設計された「6次バタワース特性ローパス・フィルタ」の回路図です．

図6　アナログ・フィルタ―・ウィザードの[部品の公差]の画面
抵抗やコンデンサの値は，選択したE系列で使用可能な値に自動的に変換される．

　回路形式はサレンキー型に固定されています．抵抗やコンデンサの値は，左側の[設定した系列]で選択したE系列で使用可能な値に，自動的に変換されます．ここでは，抵抗とコンデンサ共に「E24」を選択します．

▼完成回路図
　図7がアナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して設計した，6次バタワース特性ローパスフィルタの回路図で，図1と同じものです．

図7　「6次バタワース特性ローパス・フィルタ」の回路図
アナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して設計．

　今回は，図6で表示された回路図と回路定数を手動でLTspiceに入力しましたが，[次のステップ]の画面の[ファイル取得]-[SPICEファイル]から，サブサーキット化されたLTspiceファイルをダウンロードすることができます．

●チェビシェフ特性のフィルタを設計する
　次に，チェビシェフ特性のフィルタを設計します．通常，バタワース特性と同等の減衰量のチェビシェフ特性のフィルタは，バタワース特性よりも少ない次数で実現できますが，今回は仕様を変えて，図7と同じ6次のフィルタを設計します．

▼仕様変更
　図8は，アナログ・フィルタ―・ウィザードの[仕様]の画面で，図5のバタワース特性の仕様を変更したものです．ストップバンドの減衰量を「-55dB」に変更し，[フィルタ応答]のスライダを左に移動させ，画面左下の表示が「6次チェビシェフ0.41dB(3段)」となるように調整します．

図8　アナログ・フィルタ―・ウィザードの[仕様]の画面
ストップバンドの減衰量を-55dBに変更し，「フィルタ特性選択スライダ」を左に移動する．

　これで，通過帯域内のリップルが，0.41dB以内のチェビシェフ特性となるように，定数が設定されます．表示されているグラフが6次チェビシェフ特性ローパス・フィルタの周波数特性です．

▼完成回路図
　図9は，アナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して，図8の条件で設計した「6次チェビシェフ特性ローパス・フィルタ」の回路図です．

図9　「6次チェビシェフ特性ローパス・フィルタ」の回路図
アナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して設計．

●ベッセル特性のフィルタを設計する
▼仕様変更
　次は，ベッセル特性のフィルタを設計します．ベッセル特性も，減衰特性の仕様を変えて，図7と同じ6次のフィルタとなるようにします．図10は，アナログ・フィルタ―・ウィザードの[仕様]の画面です．

図10　アナログ・フィルタ―・ウィザードの[仕様]の画面
[ストップバンド]の減衰量を「-14.1dB」に変更し，[フィルター応答]のスライダを右に移動させる．

　[ストップバンド]の減衰量を「-14.1dB」に変更し，[フィルター応答]のスライダを右端に移動させて，画面左下の表示が「6次ベッセル(3段)」となるようにします．表示されているグラフが6次ベッセル特性ローパス・フィルタの周波数特性です．

▼完成回路図
　図11は，アナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して，図10の条件で設計した「6次ベッセル特性ローパス・フィルタ」の回路図です．

図11　「6次ベッセル特性ローパス・フィルタ」の回路図
アナログ・フィルタ―・ウィザードを使用して設計．

●3種類のフィルタの周波数特性を検証する
　図12は，図7，図9，図11の回路を1つにまとめたものです．この回路図を使用して，同じ次数の「チェビシェフ特性」，「バタワース特性」，「ベッセル特性」の周波数特性の違いをシミュレーションで比較します．

図12　3種類のフィルタの周波数特性をシミュレーションする回路
チェビシェフ，バタワース，ベッセルを比較する．

　図13は，図12のシミュレーション結果です．遮断特性が最も急峻なのはチェビシェフで，次がバタワースとなっており，ベッセルは最も緩やかな特性となっています．

図13　3種類のフィルタの周波数特性のシミュレーション結果
遮断特性が最も急峻なのはチェビシェフで，次がバタワース，最も緩やかな特性がベッセル．

●3種類のフィルタのパルス応答を検証する
　次に，3種類のフィルタのパルス応答を検証します．図12の回路で，各フィルタの入力に，振幅が±1Vで1kHzのパルス波を加えたときの応答をシミュレーションします．
　図14が，トランジェント解析結果です．チェビシェフのリンギングが最も大きく，バタワースにも小さなリンギングがありますが，ベッセル特性にはリンギングがまったくありません．

図14　各フィルタの入力に，振幅が±1Vで1kHzのパルス波を加えたときのシミュレーション結果
チェビシェフのリンギングが最も大きく，ベッセルにはリンギングがまったくない．

　以上，折り返し雑音(エイリアシング)と3つのフィルタ特性について解説しました．A-D変換したい周波数とサンプリング周波数が近い場合は，非常に急峻なフィルタが必要になります．ただし，デルタシグマ型A-Dコンバータのように，内部のサンプリング周波数が非常に高い場合は，単純なRCフィルタをアンチエイリアシング・フィルタとして使用することができます．

◆参考・引用*文献
(1) AD8602データシート：アナログ・デバイセズ
(2) AD4000データシート：アナログ・デバイセズ
(3) アナログ・フィルタ―・ウィザード：アナログ・デバイセズ

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice12_036.zip

●データ・ファイル内容
aliasing.asc：図2の回路
5thLPF.asy：図2で使用している5次ローパス・フィルタのシンボル
5thLPF.asc：図2で使用している5次ローパス・フィルタのサブサーキット
aliasing.plt：図3のグラフを描画するためのPlot settingsファイル
LPF_Butterworth.asc：図7の回路
LPF_Chebyshev.asc：図9の回路
LPF_Bessel.asc：図11の回路
LPF_BW_BS_CS.asc：図12の回路
LPF_BW_BS_CS.plt：図13のグラフを描画するためのPlot settingsファイル
LPF_BW_BS_CS_tran.asc：図14をシミュレーションするための回路
LPF_BW_BS_CS_tran.plt：図14のグラフを描画するためのPlot settingsファイル