多重帰還形バンドパス・フィルタで作る超音波距離計

■問題

【フィルタ回路　測定回路　AD8691 】

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，2つの多重帰還形(Multiple Feedback：MFB)バンドパス・フィルタで構成した，超音波距離計⁽¹⁾の簡易回路図です．各フィルタ(BPF₁，BPF₂)は，OPアンプ(AD8691)⁽²⁾を使用しています．
　BPF₁とBPF₂の特性の違いに関する説明として正しいのは(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　多重帰還形バンドパス・フィルタを使用した超音波距離計の簡易回路図
BPF₁とBPF₂の特性の違いに関する説明として正しいのは？

(a) BPF₁の中心周波数は，BPF₂の中心周波数の1.5倍となっている
(b) BPF₂の中心周波数は，BPF₁の中心周波数の1.5倍となっている
(c) BPF₁のQは，BPF₂のQの1.5倍となっている
(d) BPF₂のQは，BPF₁のQの1.5倍となっている

■ヒント

　図1の多重帰還形バンドパス・フィルタ(BPF₁)の伝達関数は式1で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　また，一般的なバンドパス・フィルタの伝達関数は式2で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式1と式2を見比べ，BPF₁とBPF₂の中心周波数とQがいくつになるかを計算してください．

■解答

(d) BPF₂のQは，BPF₁のQの1.5倍となっている

　まず「C₁=C₂=C」として，式1と式2からωoを求め，BPF₁の中心周波数(f₀₁)を表す式に変形します．その式に，定数を代入すると，式3のように40.6kHzとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　同様に「C₃=C₄=C」としてBPF₂の中心周波数(f₀₂)を求めると，式4のように39.4kHzとなり，f₀₁とf₀₂がほぼ同じになっていることが分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　また，式1と式2からBPF₁のQ(Q₁)を求め，定数を代入すると，式5のように1.98となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　同様に，BPF₂のQ(Q₂)を求めると，式6のように3.06となり，Q₁の約1.5倍になっています．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　このように，BPF₁の中心周波数とBPF₂の中心周波数はほぼ同じで，BPF₂のQとBPF₁のQが1.5倍になっています．したがって，正解は「(d) BPF₂のQは，BPF₁のQの1.5倍となっている」になります．

■解説

●超音波距離計の仕組み
　図2は，超音波距離計のブロック図です．マイコンから40kHzの信号を出力し，ドライバ経由で駆動した超音波トランスミッタから，周波数40kHzの超音波を出力します．

図2　超音波距離計のブロック図
超音波トランスミッタ出力信号と，超音波レシーバ受信信号の時間差から距離を計測する．

　そして，被測定物体から反射してきた超音波を，超音波レシーバで受信し，40kHzのバンドパス・フィルタ兼増幅回路で増幅します．増幅した信号はコンパレータを経由して，マイコンに入力されます．
　図3は，超音波トランスミッタに入力される信号と，超音波レシーバで受信した信号の模式図です．マイコンは，出力した信号と受信した信号の時間差(T)を使用して，被測定物体までの距離を計算します．

図3　超音波トランスミッタに入力される信号と，超音波レシーバで受信した信号の模式図

　超音波トランスミッタと超音波レシーバが近接している場合，被測定物体までの距離(d)は式7で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　ここでC_AIRは音速で，25℃の時に346.1m/sとなります．

●多重帰還形フィルタとは
　多重帰還形(Multiple Feedback：MFB)フィルタは，OPアンプを使用したアクティブ・フィルタ回路の代表的な構成の1つです．OPアンプの反転入力端子に対し，出力から複数の経路で信号を帰還することから，多重帰還形と呼ばれています．
　ローパス，ハイパス，バンドパスなどのフィルタを構成することが可能で，比較的少ない部品点数で，Qの大きなフィルタが実現できます．

●多重帰還形バンドパス・フィルタの特性
　図4は，多重帰還形バンドパス・フィルタの回路図です．

図4　多重帰還形バンドパス・フィルタの回路図

　この回路の伝達関数は式8で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　一般的なバンドパス・フィルタの伝達関数は式9で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式8と式9を比較し，ω₀を計算すると式10になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　同様にQを計算すると式11になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　さらに，中心周波数でのゲインに相当するHは，式12のように計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

　ここで「C₁=C₂=C」とすると，式11は式13のように簡略化できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13)

　また，式12は式14のように簡略化できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(14)

　ここで，Rを式15のように定義します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(15)

　すると，式10は式16のように簡略化することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(16)

　式16を使用して式13を変形すると，R₁は式17のように求まります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(17)

　さらに，R₂は式18のように求まります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(18)

　式17，式18を式14に代入するとHは式19のように変形できます．式19から，中心周波数のゲインを表すHは，Q²に比例することが分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(19)

●多重帰還形バンドパス・フィルタの設計
　図5は，図1で使用している多重帰還形バンドパス・フィルタです．IN端子からOUT端子までのゲインを大きくし，バンドパス・フィルタの裾部分の減衰特性を-40dB/decとするため，BPF₁とBPF₂を縦続接続しています．

図5　中心周波数40kHzの多重帰還形バンドパス・フィルタ

　ここからは実際に，中心周波数が40kHzのバンドパス・フィルタ(BPF₁，BPF₂)を設計していきます．今回は，超音波レシーバ(IN端子)からコンパレータ(OUT端子)までのゲインが，40dB以上となるように定数を設定します．そのため，BPF₁とBPF₂のトータル・ゲイン(G)が，40dB以上となるように，Q₁，Q₂を設定します．ここでは「Q₁=2，Q₂=3」とします．式19を使用して，ゲイン(G)を計算すると，式20のように43dBとなり，40dB以上という条件を満たしていることが分かります．

・・・・・・・・(20)

　次にBPF₁の定数を設定していきます．まず，E12シリーズのコンデンサの中から「C₁=C₂=C=33pF」と決めます．抵抗よりも先にコンデンサの値を決めるのは，コンデンサの方が抵抗に比べて値の選択肢が少ないためです．そして，式15から式16を使用してRを求めると，式21のように120.6kΩとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(21)

　次に，式17を使用してR₁を求めると，式22のように30kΩとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(22)

　また，式18を使用してR₂を求めると，式23のように482.4kΩとなりますが，E12シリーズの抵抗の中から470kΩを選択します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・(23)

　同様に，BPF₂の定数を設定していきます．「C₃=C₄=C=33pF」とすると，Rの値は式21と同じになります．

　そのため，R₃は式24のように，20kΩと計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(24)

　また，R₄は，式25のように723.6kΩとなりますが，E24シリーズの抵抗の中から750kΩを選択します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・(25)

●多重帰還形バンドパス・フィルタの検証
　図6は，中心周波数40kHzの多重帰還形バンドパス・フィルタをシミュレーションする回路です．5V単一電源で動作するようにするため，OPアンプの非反転入力端子は，2.5Vの基準電源に接続しています．

図6　中心周波数40kHzの多重帰還形バンドパス・フィルタをシミュレーションする回路
5V単一電源で動作させるために，2.5Vの基準電源を使用．

　図7は，図6のシミュレーション結果です．

図7　中心周波数40kHzの多重帰還形バンドパス・フィルタのシミュレーション結果
OUT端子は中心周波数40kHzでゲイン43dBのバンドパス・フィルタとなっている．

　青線は，BPF₁の周波数特性です．中心周波数は40kHzで，中心周波数のゲインは18dBとなっています．
　赤線は，BPF₂の周波数特性です．OUT端子の電圧をBPF₁端子の電圧で割ったものを表示しています．こちらも中心周波数がほぼ40kHzとなっており，中心周波数のゲインは25dBとなっています．
　緑線は，OUT端子の周波数特性です．BPF₁とBPF₂を縦続接続した特性です．中心周波数が40kHzで，中心周波数のゲインが43dBとなっており，式20の計算結果と一致しています．また，バンドパス・フィルタの裾部分の減衰特性は，-40dB/decとなっています．

　以上，多重帰還形バンドパス・フィルタについて解説しました．図4の多重帰還形バンドパス・フィルタはQを大きくすると，同時に中心周波数のゲインも大きくなります．もし，中心周波数のゲインを下げたい場合は，「R₁とC₁，C₂の接続点」とGND間に適切な値の抵抗を接続してください．

◆参考・引用*文献
(1) 超音波距離測定回路：アナログ・デバイセズ
(2) AD8691データシート：アナログ・デバイセズ

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice12_035.zip

●データ・ファイル内容
MFB_BPF1_2.asc：図6の回路
MFB_BPF1_2.plt：図7のグラフを描画するためのPlot settingsファイル