フォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧の実効値

■問題

【 ADA4625-1 】

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，低雑音のJFET入力OPアンプ(ADA4625-1)を使ったトランスインピーダンス・アンプ(TIA：Transimpedance Amplifier)です．このTIA回路は，点線で囲ったフォト・ダイオード・モデルの電流信号を電圧に変換してoutから出力します．図1において，出力雑音の実効値は(a)～(d)のどれでしょうか．ただし，回路条件は次になります．

図1　フォト・ダイオードの電流信号を電圧にするTIA回路⁽¹⁾

●回路条件
・フォト・ダイオードの入力容量：C_d=5pF
・OPアンプの反転端子の入力容量：C_OP=19.9pF
・OPアンプの入力雑音電圧：e_n=3.3nV/√Hz
・入力雑音電流：i_n=4.5fA/√Hz」
・TIAの信号ゲインの帯域：f_P=818kHz
・OPアンプのGB積：f_GBP=18MHz

(a) 38μV_RMS　(b) 58μV_RMS　(c) 70μV_RMS　(d) 85μV_RMS

■ヒント

　図1の出力雑音電圧は，次の3つの雑音になります．

帰還抵抗(R_f)の熱雑音
OPアンプの入力雑音電流(i_n)と帰還抵抗(R_f)で発生する雑音
OPアンプの入力雑音電圧(e_n)をTIAのノイズ・ゲイン(NG)で増幅した雑音

　雑音電圧の実効値は，3つの雑音に各雑音の雑音帯域幅をかけると求められます．3つの雑音電圧実効値を総合するとoutの雑音電圧実効値になります．

■解答

(b) 58μV_RMS

　帰還抵抗(R_f)の熱雑音による実効値をv_n1，OPアンプの入力雑音電流(i_n)と帰還抵抗(R_f)で発生する雑音の実効値をv_n2，TIAのノイズ・ゲインとOPアンプの入力雑音電圧(e_n)で発生する雑音の実効値をv_n3とします．outの出力雑音電圧の実効値は，v_n1，v_n2，v_n3の二乗和平方根で求められます．
　v_n1は，帰還抵抗(R_f)の熱雑音に，TIAの帯域から求められる雑音帯域幅をかけた値なので式1になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　v_n2は，入力雑音電流(i_n)と帰還抵抗(R_f)で発生する雑音に，TIAの帯域から求められる雑音帯域幅をかけた値なので式2になります．JFET入力OPアンプの入力雑音電流は非常に低いので，式2の雑音は低くなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　v_n3は，入力雑音電圧(v_n)をノイズ・ゲイン(NG)で増幅した雑音に，f_Nによる雑音帯域幅をかけた値になので式3になります．

・・・・・・・・・・・(3)

　式3のノイズ・ゲインは「NG=1+C_in/C_f」になります．ここでC_inはフォト・ダイオードの容量(C_d)とOPアンプの入力容量を加えた並列容量「C_in=C_d+C_OP」です．式3のf_NはOPアンプのオープン・ループ・ゲインとノイズ・ゲインが交差する周波数になり「f_N= f_GBP/NG」になります．

　outの出力雑音電圧の実効値は，v_n1，v_n2，v_n3の二乗和平方根で求まり，式4になるります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4より，(b) 58μV_RMSが正解になります．式1の抵抗(R_f)は電流を電圧に変換するTIAのゲインなので，必要なゲインの要求が優先です．式2と式3は低雑音のOPアンプを選ぶことで出力雑音が低くなり，全体の出力雑音電圧の実効値を低くすることができます．

■解説

●入力のフォト・ダイオード
　図1は，ADA4625-1⁽¹⁾のデータシートP24～P26にあるアプリケーション回路で，フォト・ダイオードの電流信号を電圧に変換するTIAになります．図1のフォト・ダイオードは，I_d，C_d，R_dを使ったモデルで表しています．ここで，I_dがフォト・ダイオードの光電流，C_dが等価容量，R_dが等価抵抗です．

●JFET入力のOPアンプ
　ADA4625-1は，JFETの差動対が入力段になるOPアンプで，高い入力インピーダンス，低い入力バイアス電流が特徴です．TIAにJFET入力のOPアンプを用いると，入力バイアス電流に関する出力オフセット電圧が低くなり，DC特性が優れます．また，低入力バイアス電流なので入力雑音電流も低くなり，入力雑音電流に関する出力雑音電圧も低くなる利点があります．このような特徴からTIAはJFET入力OPアンプを用います．

●TIAの出力雑音電圧の実効値
　フォト・ダイオードを入力にしたTIAは，フォト・ダイオードとOPアンプの接続部に付く容量が大きくなります．具体的にはフォト・ダイオードの等価容量とJFET入力OPアンプの入力容量の並列容量になります．この並列容量があると負帰還が不安定になるため，図1の帰還容量(C_f)で補償をします．C_fで補償をすると，TIAのノイズ・ゲインが高くなる周波数帯があるので注意が必要です．本稿ではフォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧の実効値の求め方を解説します．

●TIAの動作
　先に，フォト・ダイオードを入力にしたTIAの動作について確認します．図2は，フォト・ダイオードの電流(I_d)の矩形波(振幅20μA，on時間2μA，周期4μs)がTIAに加わったとき，outの時間変化をシミュレーションする回路になります．シミュレーションはtran解析で0μs～6μsの過渡解析です．

図2　フォト・ダイオードを入力にしたTIAの動作をシミュレーションする回路

　図3は，図2のシミュレーション結果になります．図3より，入力電流(I_d)を，R_fで電圧変換して，outから出力する動作になります．実機では図3の出力電圧に式4の雑音が重畳された波形になります．

図3　図2のシミュレーション結果

●負帰還を補償したときのノイズ・ゲイン
　TIAのノイズ・ゲインは，式3のようにOPアンプの入力雑音電圧を増幅します．ここでは図4を用い，C_fによる負帰還の補償でノイズ・ゲインの周波数特性がどのようになるのかを調べます．
　図4のADA4625-1の入力容量は，差動モードのC_DMと同相モードのC_CMがOPアンプ内部にあり，データ・シートの規格には「C_DM=8.6pF」,「C_CM=11.3pF」と記載されています．

図4　フォト・ダイオードを入力にしたTIAの負帰還安定性を検討する回路
ループ・ゲイン，ノイズ・ゲイン，OPアンプのオープン・ループ・ゲインをシミュレーションします．

　OPアンプの非反転端子はGNDなので，反転端子に見えるOPアンプの入力容量は式5になります．式5の反転端子に見える入力容量は図4の回路図には記載が無く，OPアンプのモデル内にあることに注意してください．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　フォト・ダイオードとTIAの接続部(図4のCのラベル)に見える合計の容量は，フォト・ダイオードの等価容量(C_d)と式5のOPアンプの入力容量(C_OP)を加えた並列容量なので式6になります．この並列容量により負帰還が不安定になるので，C_fで補償しています．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　ノイズ・ゲインの周波数特性は，C_fによる負帰還の補償に関係しています．負帰還の補償の効果はノイズ・ゲイン，ループ・ゲイン，OPアンプのオープン・ループ・ゲインの関係から分かります．図4中のA，B，Cのラベルを用いると，ノイズ・ゲインは「V(b)/V(c)」，ループ・ゲインは「V(a)/V(b)」，オープン・ループ・ゲインは「V(a)/V(c)」になります．シミュレーションは「.ac」コマンドを用いて，1Hz～100MHz間を周波数が2倍あたり30ポイントでスイープします．

●負帰還のノイズ・ゲインの確認
　図5は，図4のシミュレーション結果になります．図5の上段はノイズ・ゲインとOPアンプのオープン・ループ・ゲインをプロット，図5の下段はループ・ゲインと位相をプロットしました．

図5　図4のシミュレーション結果
上段はノイズ・ゲインとOPアンプのオープン・ループ・ゲインをプロット．
下段はループ・ゲインと位相をプロット．

　C_fを使った負帰還の補償の効果は次になります．

ノイズ・ゲインがf_Zの周波数を過ぎると，ループ・ゲインは-20dB/decから-40dB/decの傾きに変わり，位相が遅れ始める
ノイズ・ゲインがf_Pの周波数を過ぎると，ループ・ゲインは-40dB/decから-20dB/decの傾きに戻り，遅れた位相を戻して補償する
オープン・ループ・ゲインとノイズ・ゲインが交差する周波数f_Nよりf_Pが低い周波数のとき，位相余裕が生まれる
ループ・ゲインが0dBのときの位相余裕を調べると63°になる．一般的に位相余裕は60°以上で安定なので，図1の負帰還は安定する
ノイズ・ゲインがf_Pより高い周波数のとき，帰還回路がC_inとC_fによる非反転アンプのゲインになり，「NG=1+C_in/C_f」に落ち着く．このノイズ・ゲインがOPアンプの入力雑音電圧を増幅する

　図5のf_Z，f_P，f_Nは，次の計算で分かります．負帰還を補償するときは，f_Z，f_P，f_Nの周波数位置が図5のような関係になるように，C_fを調整します．
　図4のノイズ・ゲインを机上計算すると式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　ここでτ_Zは式8になります．式8の右辺の項で「R_dR_f/(R_d+R_f)=R_d||R_f」なので，R_dとR_fの並列抵抗を意味します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　そしてτ_Pは，式9になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式8のR_dとR_fの大小関係は「R_d＞＞R_f」なので，f_Zは式10になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　式9よりf_Pは式11になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　f_Nは，OPアンプのGB積の周波数と，f_P以上の周波数で落ち着いたノイズ・ゲイン「1+C_in/C_f」から分かり，式12になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

●出力雑音電圧の実効値を計算
　次にフォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧の実効値について，図6を用いて机上計算します．図6のC_inは式6の容量です．

図6　フォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音の実効値を検討する回路

　図1のR_dはR_fに比べ非常に高い抵抗であり，R_dはオープン(回路に無い)と考えることができるので図6にはありません．図6には雑音源として「抵抗の熱雑音電圧」,「OPアンプの入力雑音電圧」,「OPアンプの入力雑音電流」の3つあり，これらの雑音が出力雑音電圧の実効値になります．その内訳として，帰還抵抗(R_f)の熱雑音による実効値をv_n1，OPアンプの入力雑音電流(i_n)と帰還抵抗(R_f)で発生する雑音の実効値をv_n2，TIAのノイズ・ゲインとOPアンプの入力雑音電圧(e_n)で発生する雑音の実効値をv_n3とします．

▼v_n1の計算

帰還抵抗(R_f)の√Hzあたりの熱雑音電圧は，(4kTR_f)^1/2になる．ここで，k：ボルツマン定数(1.381×10-23)，T：絶対温度(27℃のとき300ケルビン)
v_n1の雑音帯域幅は，TIAの信号ゲインの帯域(f_P)が関係する．f_Pは式11より「f_P=818kHz」になる．信号ゲインは，f_Pの周波数より高くなると-20dB/decの傾きで減衰する特性なので，雑音帯域幅はf_Pよりπ/2倍だけ高い周波数になる
v_n1は「√Hzあたりの熱雑音電圧」に「雑音帯域幅」をかけた値なので，前述の式1の「v_n1=32.6μV_RMS」になる

▼v_n2の計算

入力雑音電流(i_n)と帰還抵抗(R_f)で発生する√Hzあたりの雑音電圧は「i_n*R_f」
v_n2の雑音帯域幅はv_n1と同じになる
v_n2は「√Hzあたりのi_n*R_fの雑音電圧」に「雑音帯域幅」をかけた値なので，前述の式2の「v_n2=0.25μV_RMS」になる

▼v_n3の計算

TIAのノイズ・ゲインとOPアンプの入力雑音電圧(e_n)で発生する√Hzあたりの雑音電圧は，ノイズ・ゲインをNGとすると「e_n*NG」になる
f_P付近のノイズ・ゲインは「NG=1+C_in/C_f」にり，ここでC_inはフォト・ダイオードの容量C_dとOPアンプの入力容量を加えた並列容量「C_in=C_d+C_OP」になる
OPアンプのオープン・ループ・ゲインとNGが交差する周波数を見積もると「f_N= f_GBP/NG」になる．f_GBPはデータシートの規格より18MHzになる
v_n3の雑音帯域幅は，オープン・ループ・ゲインとNGが交差する周波数(f_N)が関係します．f_Nは，式12より「f_N=2.4MHz」です．オープン・ループ・ゲインはf_Nの周波数より高くなると-20dB/decの傾きで減衰する特性なので，雑音帯域幅はf_Nよりπ/2倍だけ高い周波数になる
v_n3は「√Hzあたりのe_n*NGの雑音電圧」に「雑音帯域幅」をかけた値なので，整理すると前述の式3の「v_n3=47.7μV_RMS」になる

▼出力雑音電圧の実効値

outの出力雑音電圧の実効値は，v_n1，v_n2，v_n3の二乗和平方根で求められ，前述の式4で求めた 57.8μV_RMSになる
入力雑音電流が関係するv_n2は，他のv_n1，v_n3より十分低いので，出力雑音電圧の実効値はv_n1，v_n3の2つでほぼ決まります．この検討より，TIAの出力雑音電圧の実効値は，JFET入力OPアンプを使うと入力雑音電流の影響が低くなる

　このらの机上計算より，問題の答え合わせをすると，(b)58μV_RMSが正解になります．

●TIAの出力雑音電圧の確認
　最後に，図7を使ってフォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧をシミュレーションで調べます．

図7　フォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧をシミュレーションする回路

　シミュレーションは「.noise」コマンドを用い，1kHz～100MHz間を周波数が2倍あたり30ポイントのスイープになります．シミュレーション結果は「.meas」コマンドを用い，outの出力雑音電圧を積分して実効値を自動計算し，out_totnの変数に入れます．
　図8は，図7のシミュレーション結果になります．f_Zより低い周波数ではR_fの熱雑音が支配的になります．f_Z～f_Nにかけて，OPアンプの入力雑音電圧(e_n)をノイズ・ゲインで増幅した雑音が加わるのが分かります．

図8　図7のシミュレーション結果

　図9は，出力雑音の実効値を「.measコマンド」で自動測定した結果のログ・ファイルになります．図9のout_totnの変数の値は56.6μV_RMSとなり，解答(b)の58μV_RMSに近い実効値になるのが分かります．

図9　「.meas」コマンドで測定した出力雑音電圧の実効値
出力雑音電圧の実効値は56.6μV_RMS．

　以上，フォト・ダイオードを入力にしたTIAの出力雑音電圧について解説しました．実機ではフォト・ダイオードとOPアンプの接続部に基板の浮遊容量も加わります．浮遊容量を予測するのは難しいこともあり，シミュレーションと実機の双方で調整していくことになります．

◆参考・引用*文献
(1) ADA4625-1のデータシート：アナログデバイセズ

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice11_038.zip

●データ・ファイル内容
TIA ADA4625 Tran.asc：図2の回路
TIA ADA4625 Tran.plt：図2のプロットを指定するファイル
TIA Characteristics.asc：図5の回路
TIA Characteristics.plt：図5のプロットを指定するファイル
TIA_ADA4625 Noise.asc：図7の回路
TIA_ADA4625 Noise.plt：図7のプロットを指定するファイル