可変抵抗の代わりに相互コンダクタンス・アンプを使う

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■問題

【フィルタ】

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，相互コンダクタンス・アンプを使ったロー・パス・フィルタ回路です．可変抵抗の代わりにI₁の電流でフィルタのコーナ周波数が調整できます．I₁が10μAのとき，コーナ周波数は，(a)～(d)のどれに近いでしょうか．

図1　I₁の電流でコーナ周波数が調整できるロー・パス・フィルタ
コーナ周波数が最も近いのは(a)～(d)のどれ？

(a) 3kHz　(b) 6kHz　(c) 30kHz　(d) 60kHz

■ヒント

　Q₁～Q₁₁のトランジスタで作るアンプは，相互コンダクタンス・アンプになります．相互コンダクタンス・アンプに負帰還をかけると，入力電圧と出力電流の関係は抵抗に見え，I₁を調整すると可変抵抗の代わりに使えます．この抵抗とC₁で作るロー・パス・フィルタのコーナ周波数を求めます．

■解答

(c) 30kHz

　図1の相互コンダクタンス・アンプのgmは，Q₁とQ₂のコレクタ電流をI_C，熱電圧をV_Tとすると「gm=I_C/V_T」になります．ここで熱電圧は常温27℃のとき「V_T=26mV」，I₁が10μAのとき「I_C=5μA」です．相互コンダクタンス・アンプに負帰還をかけると，入力電圧と出力電流の関係は抵抗に見えます．そのときの抵抗値をR_eqとすると，「R_eq=1/gm」になります．
　これにより，図1の相互コンダクタンス・アンプの抵抗は「R_eq=5.2kΩ」になります．次に図1のロー・パス・フィルタのコーナ周波数はR_eqとC₁で決まるので，コーナ周波数をf_cとすると「f_c=1/2πR_eqC₁」になります．「C₁=1000pF」なので「f_c=30.6kHz」になり，(a)～(d)の周波数の中で近いのは(c)の30kHzになります．

■解説

●相互コンダクタンス・アンプについて
　図1の相互コンダクタンス・アンプは，入力になるQ₁とQ₂のベースに加わる差動電圧によってQ₁のコレクタ電流（I_C1）とQ₂のコレクタ電流（I_C2）に差が発生します．このときのI_C1とI_C2の差電流「I_out=I_C1-I_C2」が出力から流れるアンプになります．差動電圧の変化に対するI_outの変化率は相互コンダクタンス(gm)で表します．相互コンダクタンス(gm)はI₁の電流で変わることから，図1の相互コンダクタンス・アンプのgmはI₁で制御できます．

●負帰還の効果
　相互コンダクタンス・アンプは，図2(a)の三角形のアンプの記号と2つの重なった円で示した電流源の記号で表します．図2(a)は相互コンダクタンス・アンプの出力と反転端子を接続した負帰還をかけています．この接続は図1と同じなので，ここでは図2(a)を使って負帰還の効果について検討します．

図2　相互コンダクタンス・アンプに負帰還をかけたブロック図

　図2(a)の相互コンダクタンス・アンプの中身は図1のQ₁～Q₁₁の回路とすると，相互コンダクタンス(gm)は式1になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1のV_Tは熱電圧で常温27℃のとき「V_T=26mV」，負帰還の効果により，反転端子と非反転端子がバーチャル・ショートの状態では，I₁の電流が半分ずつQ₁とQ₂に流れることから，「I_C=I_C1=I_C2=I₁/2=5μA」になります．
　図2(a)は相互コンダクタンス・アンプの出力と反転端子を接続しているので，I_outの電流は式2になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2を変形して「電圧÷電流」の関係にすると式3になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3より，「電圧÷電流」は抵抗を表すので，相互コンダクタンス・アンプに負帰還をかけると，図2(b)のように抵抗の両端の差電圧が「V_in-V_out」のとき，流れる電流がI_outになる等価抵抗「R_eq=1/gm」になるのが分かります．具体的な等価抵抗(R_eq)を求めると，式1へ「V_T=26mV」と「I_C=5μA」を入れ，式3の関係を使うと「R_eq=5.2kΩ」になります．

●コーナ周波数の机上計算
　次にロー・パス・フィルタのコーナ周波数を求めます．図1のコンデンサ(C₁)は図3の位置に接続されます．

図3　ロー・パス・フィルタのブロック図
コーナ周波数は式4になる．

　反転端子の入力インピーダンスが高く，反転端子の電流は無視できるほど低いとすると，I_outの電流はC₁へ流れるとみなせます．このときのコーナ周波数は等価抵抗(R_eq)とコンデンサ(C₁)より式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4より，図3の負帰還をかけた相互コンダクタンス・アンプの等価抵抗は「R_eq=5.2kΩ」なので，「C₁=1000pF」を使うと「f_c=30.6kHz」になります．以上の検討より，解答の(c)になります．　また，I₁を調整すると相互コンダクタンス・アンプのgmが変わるので，ロー・パス・フィルタのコーナ周波数を調整することができます．

●周波数調整できるフィルタのシミュレーション
　図4は，図1のロー・パス・フィルタの周波数特性を調べる回路になります．周波数特性はAC解析を用い「.ac oct 30 1 1meg」の指定で，1Hz～1MHz間を周波数が2倍あたり30ポイントでスイープします．

図4　図1をシミュレーションする回路
I₁の電流は1μA，10μA，100μAの3種でシミュレーションする．

　図1のI₁は10μAでしたが，図4ではI₁の電流値をItailの変数で表し，1μA，10μA，100μAの3種でコーナ周波数の変化を調べます．具体的なステップ・コマンドは，「.step param Itail list 1u 10u 100u」で，Itailを3種の電流に変えています．
　図5は図4のシミュレーション結果になります．I₁が10μAのときのコーナ周波数は，先ほど検討した30kHzになるのが分かります．I₁が1μAのときのコーナ周波数は「R_eq=52kΩ」となり，「f_c=3KHz」，I₁が100μAのときのコーナ周波数は「R_eq=520Ω」となり，「f_c=300KHz」になります．このようにI₁により周波数特性を変えることができます．

図5　図4のシミュレーション結果
I₁が10μAのときのコーナ周波数は30kHzになる．
I₁を変えると周波数特性のコーナ周波数が変わるのが分かる．

●同じI₁の電流とC₁のコンデンサでコーナ周波数を低くする
　図1のロー・パス・フィルタのコーナ周波数を低くするには，I₁を低くするか，またはC₁の容量を大きくする方法があります．しかし，それ以外に相互コンダクタンス・アンプのgmを回路で低くする方法があります．ここでは図1の応用例として，同じI₁の電流とC₁のコンデンサを使い，図5で調べたコーナ周波数より低くする方法について解説します．具体的には，図6のR₁，R₂とR₃，R₄の分圧回路を加えることにより，等価抵抗を高くしてコーナ周波数を低くします．
　図6の抵抗値の関係は「R₁=R₄」と「R₂=R₃」を用います．図6の後段にあるOPアンプはユニティ・ゲイン・バッファでI_outの電流をC₁へ流し，R₃とR₄の分圧回路へは流れないように分離をしています．

図6　分圧回路で等価抵抗を高くし，コーナ周波数を低くする回路

●分圧回路を加えたロー・パス・フィルタのコーナ周波数
　ここでは，図6のコーナ周波数について机上計算します．図6のR₁，R₂とR₃，R₄の分圧回路のゲインをβとし，「R₁=R₄」と「R₂=R₃」になるようにすると式5になります．式5のように設定すると，相互コンダクタンス・アンプの反転端子の電圧は「βV_out」，非反転端子の電圧は「βV_in」になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　相互コンダクタンス・アンプの差動電圧は「βV_in -βV_out」なので，I_outは式6になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6より，等価抵抗(R_eq)は式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　R₁，R₂とR₃，R₄の分圧回路があるときの等価抵抗の式7と，先ほど検討した等価抵抗の式3を比べると，R_eqは1/β倍になります．図6の「R₁=R₄=100kΩ」と「R₂=R₃=1kΩ」を使うと，R_eqは101倍の高い等価抵抗になるので，コーナ周波数は1/101倍低くすることができます．

●分圧回路を加えた回路のシミュレーション
　図7は，図6の分圧回路を加えた具体的な回路になります．図7のシミュレーションの指定は，図4と同じになります．

図7　図1より低いコーナ周波数にする回路のシミュレーション
I₁とC₁は図1と同じ値を用いている．

　図8は図7のシミュレーション結果になります．図5のシミュレーション結果と比べると，I₁とC₁は同じ条件で，コーナ周波数は1/101倍低い周波数になるのが確認できます．

図8　図7のシミュレーション結果
コーナ周波数は1/101倍低くなる．

　以上，解説したように，相互コンダクタンス・アンプを使ったロー・パス・フィルタは，I₁の電流で周波数調整ができます．またC₁の容量が低いコンデンサでも，分圧回路を用いることにより，オーディオ周波数帯の低いコーナ周波数のフィルタを作ることができます．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice9_046.zip

●データ・ファイル内容
Frequency adjustable LPF1.asc：図4の回路
Frequency adjustable LPF1.plt：図4のプロットを指定するファイル
Frequency adjustable LPF2.asc：図7の回路
Frequency adjustable LPF2.plt：図7のプロットを指定するファイル