負帰還アンプの雑音が小さい抵抗値の決め方

■問題

【ノイズ】

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1はCMOS OPアンプを使った負帰還アンプです．CMOS OPアンプの入力雑音は1kHzのとき9.5nV/√Hzの性能です．R₁，R₂，R₃の抵抗の組み合わせが表1のとき，V₁の位置に見える負帰還アンプの雑音(入力換算雑音)が最も小さいのは，(a)～(d)のどの抵抗の組み合わせでしょうか.

図1　CMOS OPアンプを使った負帰還アンプ
R₁，R₂，R₃が表1のとき，図1の入力換算雑音が最小になるのはどれでしょうか．

表1　図1のR₁，R₂，R₃の抵抗

(a)の抵抗の組み合わせ
(b)の抵抗の組み合わせ
(c)の抵抗の組み合わせ
(d)の抵抗の組み合わせ

■ヒント

　図1の負帰還アンプの雑音は，R₁，R₂，R₃の抵抗で発生する3つの雑音にOPアンプの入力雑音を加えた4つの雑音で決まります．これらの4つの雑音が増幅され，2乗平均平方根したものが出力雑音になります．その出力雑音を図1のノイズ・ゲインで除算したものがV₁の位置に見える入力換算雑音になります．入力換算雑音にすると，回路に複数ある雑音を入力側で1つにまとめるので，雑音の検討が楽になります．
　抵抗の単位周波数あたりの雑音は，抵抗値をRとすると「(4kTR)^1/2 [V/√Hz]」で求めることができます．ここで，kはボルツマン定数で「1.38×10^-23[J/K]」，Tは絶対温度で27℃のとき300[K]です．またOPアンプの入力雑音は9.5nV/√Hz の性能です．これらを使って雑音の検討をします．

■解答

(b)の抵抗の組み合わせ

　図1の負帰還アンプの入力換算雑音を「v_inoise」，OPアンプの入力雑音を「v_n」，R₁，R₂，R₃から発生する3つの雑音の2乗平均平方根を「v_Req」の記号とします．
　これらの記号を使うと，図1の入力換算雑音は「v_inoise²=v_n²+v_Req²」になります．「v_n=9.5nV/√Hz」は一定なので，v_inoiseを低雑音にするにはv_Reqが低いときになります．
　v_ReqはR₁，R₂，R₃からなる等価抵抗「R_eq」が低くなると低雑音になります．R_eqは「R_eq=R₃+(R₁||R₂)」で求めることができ，表1の(a)～(d)のときのR_eqは次になります．

(a)R_eq =1091Ω
(b)R_eq = 609Ω
(c)R_eq = 959Ω
(d)R_eq =4274Ω

　(a)～(d)のR_eq が最も低くなる抵抗の組み合わせは(b)になり，このとき負帰還アンプ全体の入力換算雑音が最も低くなります．

■解説

●負帰還アンプの雑音はOPアンプの入力雑音と等価抵抗の雑音で決まる
　CMOS OPアンプの2つの入力端子は，NチャネルMOS FETまたはPチャネルMOS FETのゲートになります．ゲート電流は流れないことから，CMOS OPアンプの入力バイアス電流はゼロとみなせ，雑音電流を無視できます．この特徴により，図1の負帰還アンプの雑音は，R₁，R₂，R₃の抵抗で発生する雑音と，OPアンプの入力雑音の4つの雑音で決まります．
　ここで，R₁，R₂，R₃からなる等価抵抗をR_eqとし，R_eqの雑音を「v_Req」とすると，図1の負帰還アンプの入力換算雑音は「v_inoise²=v_n²+v_Req²」になります．この式のようにCMOS OPアンプを使った負帰還アンプは，OPアンプの入力雑音「v_n」と等価抵抗の雑音「v_Req」で決まります．回路を低雑音にするには，v_nとv_Reqの2つで調整します．

●OPアンプの入力雑音
　最初に図1で使用しているCMOS OPアンプの入力雑音「v_n」を調べます．OPアンプの入力雑音を調べるには，データ・シートの値を使う方法と，シミュレーションで求める方法があります．今回は後者のシミュレーションで調べます．
　図2は，図1で使用しているCMOS OPアンプをユニティ・ゲイン・バッファにして入力雑音の周波数特性を調べます．LTspiceのドット・コマンドは「.noise V(out) V1 oct 30 1 10meg」の指定で，1Hz～10MHz間を周波数が2倍あたり30ポイントでスイープします．

図2　OPアンプの入力雑音を調べる回路

　図3は図2の入力雑音「V(inoise)」のシミュレーション結果になります．1kHzでの入力雑音は9.5nV/√Hzになります．この入力雑音を問題で使用しています．

図3　OPアンプの入力雑音を調べた結果
周波数が1kHzのとき，入力雑音は9.5nV/√Hzになる．

●負帰還アンプの入力換算雑音と4つの雑音の関係
　図4は，R₁，R₂，R₃の抵抗で発生する雑音と，OPアンプの入力雑音の4つの雑音を負帰還アンプへ加えました．この回路を用いて負帰還アンプの入力換算雑音と4つの雑音の関係を調べます．

図4　OPアンプの雑音と抵抗の雑音を示した回路
出力雑音の内訳も記載．

　負帰還アンプは4つの雑音が増幅されてoutに出力雑音として現れます．図4の右側に出力雑音の内訳を示しました．負帰還アンプの入力換算雑音「v_inoise」は，出力雑音の内訳に示した4つの雑音を，式1のノイズ・ゲイン(NG)で除算して入力換算し，各雑音を2乗平均平方根することにより求めることができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　図4の入力換算雑音は式2になります．

・・・・・(2)

　ここで，式2中のR₁，R₂，R₃の抵抗で発生する3つの雑音を1つの等価抵抗の雑音「v_Req」として表すと式3になります．

・・・・・・・・・・・(3)

　式3を整理すると式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　ここで，式4中のR₁，R₂，R₃からなる等価抵抗は式5になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式2中のR₁，R₂，R₃の抵抗で発生する3つの雑音を，式4の等価抵抗の雑音で表すと，式6の関係になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6のように，CMOS OPアンプを使った負帰還アンプは，OPアンプの入力雑音「v_n」と等価抵抗の雑音「v_Req」で決まるのが分かります．

　ここまでの計算式を使って答え合わせをします．表2は表1の(a)～(d)の抵抗の条件で式4，式5，式6を計算した結果になります．等価抵抗(R_eq)が低いとき，等価抵抗の雑音(v_Req)も低くなり，負帰還アンプの入力換算雑音は(b)の抵抗が最も低くなるのが分かります．

表2　表1の抵抗で負帰還アンプの入力雑音を計算した結果

(b)の抵抗が最も雑音が低くなる．

●等価抵抗と負帰還アンプの入力換算雑音の関係
　表2では，等価抵抗と入力換算雑音の結果が4ポイントだけなので，さらにデータ数を増やして視覚的に分かりやすいプロット図を作成します．
　具体的には，X軸(横軸)を等価抵抗(R_eq)，Y軸(縦軸)を入力換算雑音(v_inoise)と等価抵抗の雑音(v_Req)の2つをプロットし，等価抵抗と負帰還アンプの入力換算雑音の関係を調べます．図5が，等価抵抗と負帰還アンプの入力換算雑音の関係を調べる回路です．

図5　等価抵抗と負帰還アンプの入力換算雑音の関係をシミュレーションする回路

　図5は，図1の回路のR₁の抵抗値をRaの変数，R₂の抵抗値をRbの変数，R₃の抵抗値をRcの変数にしました．Noise解析のドット・コマンドは図2と同じです．Raの抵抗値は「.step dec param Ra 100 1meg 5」を用い「.stepコマンド」で100Ω～1MΩ間を抵抗が10倍あたり5ポイントでスイープします．同じようにRbの抵抗値は「.step dec param Rb 1k 1meg 5」を用い1kΩ～1MΩ間を抵抗が10倍あたり5ポイントでスイープします．Rcは「.step param Rc LIST 1 50 100 1k」で1Ω，50Ω，100Ω，1kΩの4種類とします．この3つの変数の組み合わせで等価抵抗のデータ数を増やしています．
　次にX軸(横軸)にする等価抵抗は式5の計算を使います．具体的には「.meas NOISE Req PARAM Rc+1/(1/Ra+1/Rb)」で計算します．等価抵抗で発生する雑音は式4を使います．具体的には「.meas NOISE vreq PARAM sqrt(4*K*(temp+273)*Req)」で計算してY軸(縦軸)にプロットします．最後に図5の周波数1kHzにおける入力換算雑音を「.meas NOISE noise_1k FIND V(inoise) AT 1k」で調べてY軸(縦軸)にプロットします．

●R₁，R₂，R₃の決め方
　図6は，図5のシミュレーション結果で，等価抵抗と負帰還アンプの入力換算雑音の関係をデータ数を増やして視覚的に分かりやすくしたプロット図です．
　このプロットを作成するには，LTspiceのパラメトリック・プロットの機能を使います．操作方法は，図5のシミュレーション終了後，「Ctrl+L」のショート・カット・キーでログ・ファイルを表示させます．ログ・ファイルのウィンドウで右クリックし，「Plot .step'ed .meas data」を選んでパラメトリック・プロットさせます．文末のダウンロードできるLTspiceファイルにはプロットを指定するファイルが同梱されているので，以上の操作方法で図6のプロットを作成できます．「.stepコマンド」の組み合わせが多いのでシミュレーション時間が長くなります．シミュレーションが終了してからパラメトリック・プロットの操作をしてください.　　

図6　図5のシミュレーション結果
R_eqが低くなるほど負帰還アンプは低雑音になる．

　図6は「noise_1k」のプロットが，周波数1kHzでの負帰還アンプの入力換算雑音(v_inoise)です．「vreq」は等価抵抗による雑音の計算結果になります．X軸には表1の(a)～(d)の等価抵抗の位置を示しました．「noise_1k」と「vreq」を比べると，雑音は2乗和の平方根で計算することから，2つの雑音の大小を比べた場合，3倍大きな雑音が支配的になります．負帰還アンプの入力換算雑音を低くするには，領域1あるいは領域2を使います．具体的には，図6を使って雑音の目標値から等価抵抗を求め，式5の等価抵抗からR₁，R₂，R₃を選ぶことになります．

▼領域1について
　領域1は，OPアンプの入力雑音(v_n)が支配的になります．(b)の等価抵抗の付近が領域1と領域2の境になります．(b)の等価抵抗よりさらに低くしても，負帰還アンプの入力換算雑音はOPアンプの入力雑音(v_n)より低くなりません．

▼領域2について
　領域2は，OPアンプの入力換算雑音と等価抵抗の雑音の2つで決まります．等価抵抗が徐々に高くなると，負帰還アンプの入力換算雑音も高くなります．(a)，(c)，(d)がこの領域にあります．

▼領域3について
　領域3は，等価抵抗の雑音が支配的になります．負帰還アンプに使う抵抗が高いと等価抵抗が高くなり，抵抗の雑音が支配的になります．例を挙げると，ゲインを決めるR₁とR₂の抵抗比は同じでも，R₁とR₂の絶対値が高くなると雑音は高くなります．この理由から，負帰還アンプで使える抵抗の上限は雑音で決まると言われます．

●入力換算雑音の周波数特性
　図7は，図1のR₁，R₂，R₃を表1(b)の抵抗にし，等価抵抗が領域1と領域2の境付近にします．この条件で負帰還アンプの入力換算雑音の周波数特性をシミュレーションする回路になります．

図7　表1(b)の抵抗の組み合わせで負帰還アンプの入力換算雑音の周波数特性を調べる回路

　図8は図7のシミュレーション結果です．等価抵抗が領域1と領域2の境付近にあると，OPアンプの入力雑音が支配的になります．これより，負帰還アンプの入力換算雑音周波数特性は，図3のOPアンプの入力雑音周波数特性とほぼ同じになります．また，1kHzの雑音は10.1nV/√Hzであり，表2で計算した10.0nV/√Hzと一致しています．

図8　図7のシミュレーション結果
表1(b)の抵抗は，図3のOPアンプの入力雑音の特性に近づく．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice9_036.zip

●データ・ファイル内容
OPAmp Input referred noise.asc：図2の回路
OPAmp Input referred noise.plt：図2のプロットを指定するファイル
NF Amplifer Input referred noise.asc：図5の回路
NF Amplifer Input referred noise.log.plt：図5のプロットを指定するファイル
NF Amplifer Input referred noise 2.asc：図7の回路
NF Amplifer Input referred noise 2.plt：図7のプロットを指定するファイル