オーディオ回路などで近似式を使うときの注意[ダイオード編]

■問題

【半導体/デバイス】

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，ダイオードの電圧(V_D)と電流(I_D)の関係を調べる回路です．オーディオ回路設計などでは，計算を簡単にするためにV_DとI_Dの関係は，式1の近似式を用います．式1の近似式はV_Dの電圧が低くなるとI_Dに誤差が生まれます．
　そこで，I_Dの誤差が0.05%以下で，式1の近似になるのは，V_Dの値が(a)～(d)の何V以上のときでしょうか．ただし，式1のI_Sはダイオードの逆方向飽和電流で「I_S=1nA」，V_Tは熱電圧で27℃のとき「V_T=26mV」とします.

図1　ダイオードの電圧と電流の関係を調べる回路
V_Dが何V以上のとき，I_Dの誤差が0.05%以下で式1の近似になるでしょうか？

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

(a) 0.1V　(b) 0.2V　(c) 0.3V　(d) 0.4V

■ヒント

　近似前のダイオードの電圧(V_D)と電流(I_D)の関係は式2になります．(a)，(d)のV_Dを式1と式2に入れて誤差を計算すると分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

■解答

(b) 0.2V

　式1と式2の誤差は式3になり，V_DとV_Tを入れると求まります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3のV_Tは26mVとし，V_Dへ(a)～(d)の電圧を入れて，誤差を求めると以下になります．

(a)のV_D=0.1VのときのI_Dの誤差は2.2%
(b)のV_D=0.2VのときのI_Dの誤差は0.05%
(c)のV_D=0.3VのときのI_Dの誤差は0.001%
(d)のV_D=0.4VのときのI_Dの誤差は0.0002%

　上記の検討より，I_Dの誤差が0.05%以下になるV_Dは(b) 0.2Vが正解になります．

■解説

●ダイオードの動作について
　ダイオードは，半導体の基礎になるものです．まず初めにダイオードの動作について図2を用いて解説します．

図2　ダイオードの動作解説図

　ダイオードは，図2のように，p型とn型の半導体でできています．V_Dが接続されていない無バイアスのとき，p型とn型の間には空乏層ができます．この状態からp型が正の電圧，n型が負の電圧になるV_Dを加えると空乏層が狭くなり，接合を通してp型とn型の電荷キャリアが定常的に拡散し，I_Dの電流になります．ダイオードは，V_Dのわずかな変化でI_Dを大きく変化させることができます．このV_DとI_Dの関係を表したのが先ほどの式2になります．しかし，式2を使うと計算が大変なので，回路設計では式1の近似式を使っています．式1をV_Dで整理すると式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4のV_DをV_BE，I_DをI_Cと書き換えると，バイポーラ・トランジスタのベース・エミッタ間電圧(V_BE)とコレクタ電流(I_C)の関係を表す式5になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

●ダイオードの電圧と電流を調べる回路
　図3は，ダイオードの電圧と電流を調べる3つの回路になります．図3(a)は，式1の近似式を模擬する回路で，I₁の電流源の値に式1を入れています．図3(b)は，式2を模擬する回路で，I₂の電流源の値に式2を入れています．図3(c)は，D₁の理想ダイオードに流れる電流を調べる回路になります．

図3　ダイオードの電圧と電流を調べる3つの回路
(a)は近似式を電流源で模擬した回路．
(b)は理論式を電流源で模擬した回路．
(c)は理想ダイオードの電流を調べる回路．

　図3(a)と図3(b)の熱電圧V_Tは，「V_T=kT/q」(kはボルツマン定数，Tは絶対温度，qは電気素量)から計算します．具体的には，LTspiceに登録されているBoltz(ボルツマン定数)，kelvin(ケルビン)，echarge(電気素量)と，tempはシミュレーションの温度を使います．図3(a)と図3(b)と図3(c)のI_Sは1nAに設定し，V_Dは「.step」コマンドで100nVから0.5V間を10倍あたり30ポイントでスイープさせます．

●I_Dの誤差をシミュレーション
　図4は，図3のシミュレーション結果で，上段はダイオードの電圧と電流の関係をプロットし，下段は，I₁とI₂の電流の誤差とI₁とD₁の電流の誤差をプロットしました．

図4　図3のシミュレーション結果
上段はダイオードの電圧と電流の関係をプロット．
下段はI₁とI₂の電流の誤差，I₁とD₁の電流の誤差をプロット．

　図4上段のプロットより，I₂の電流とD₁の電流は重なっており，D₁の電流はI₂の理論式と同じになるのが分かります．そしてI₁の近似式の電流とI₂の理論式の電流は，ダイオードの電圧が低くなるとプロットが大きく離れるので，同じ電流にならないのが分かります．このときの誤差を計算したのが図4下段のプロットになります．図4下段はI₁とI₂の電流の誤差と，I₁とD₁の電流の誤差をプロットしました．図4上段よりI₂とD₁の電流は同じなので，図4下段の2つのプロットは重なっています．ダイオードの電圧が0.2V以上のとき，ダイオードの電流の誤差は0.05%以下になります．そしてダイオードの電圧が0.2Vより低くなると誤差が大きくなるのが分かります．図4下段のプロットからも図1の解答は(b)の0.2Vであるのが確認できます．

●実際のダイオードのモデルを使うとどうなるか
　式1と式2を使った誤差の検討は理想ダイオードについてでした．ここでは実際のダイオードのモデルを使ったとき，ダイオードの電圧と電流の近似ができる条件について検討します．
　図5は，LTspiceにある1N4148のダイオードのモデルになります．実際のダイオードは不純物の影響により，式2の理論式からずれてきます．

図5　LTspiceの1N4148ダイオードのモデル
ダイオードの電圧と電流の関係はI_Sの他にエミッション係数Nが関係してくる．

　これを補正する係数としてNで表すエミッション係数があります．1N4148は「I_S=2.52nA，N=1.752」になります．理想ダイオードのNのデフォルト値は「N=1」なので，エミッション係数で補正をしていません．エミッション係数を入れたダイオードの電圧と電流の理論式は式6になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6の近似式は式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

●実際のダイオードの電圧と電流を調べる回路
　図6は，1N4148の電圧と電流を調べる3つの回路になります．図6(a)は式7の近似式を模擬する回路で，I₁の電流源の値に式7を入れています．図6(b)は式6を模擬する回路で，I₂の電流源の値に式6を入れています．図6(c)はD₁の1N4148に流れる電流を調べる回路になります．調べ方は図3と同じになります．

図6　実際の部品を使ったダイオードの電圧と電流を調べる3つの回路
(a)は，近似式を電流源で模擬した回路．
(b)は，理論式を電流源で模擬した回路．
(c)は，実際のダイオードの電流を調べる回路．

　1N4148のV_Dを区切りの良い電圧値で誤差を調べたのが式8になります．式6と式7の誤差はV_Dが0.3Vのとき0.14%になります．

　

・・・・・・・・・・・(8)

●1N4148のI_Dの誤差をシミュレーション
　図7は，図6のシミュレーション結果で，プロットの内容は図4と同じになります．図7下段よりダイオードの電圧が0.3Vで誤差が0.13%になり，式8で検討した値とほぼ等しい誤差になります．このように図4の理想ダイオードのプロットと比べると，実際のダイオードは近似ができる条件にずれがあります．