オーディオ用アンプの全高調波ひずみ率とは

■問題

【ひずみ】

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1のように，アンプの入力に，ピーク電圧1Vで1kHzの正弦波を加えたところ，アンプの出力は振幅±1Vで，デューティ比50%の完全な矩形波になりました．このとき，アンプ出力の全高調波ひずみ率(Total Harmonic Distortion：THD)は，(a)～(d)の何%になるでしょうか．

図1　アンプの入力に正弦波を加えたところ，出力が完全な矩形波になった
出力波形のTHDは何%？

(a) 24%　(b) 48%　(c) 72%　(d) 100%

■ヒント

　全高調波ひずみ率(THD)は，出力波形に含まれる，高調波成分と基本波成分の比を，%表示したものです．矩形波をフーリエ変換することで，基本波と高調波の振幅が分かります．式1が振幅±1の矩形波のフーリエ級数展開の一般式です．この式から，THDを求める方法を考えてみてください．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

■解答

(b) 48%

　全高調波ひずみ率(THD)は，高調波の実効値を基本波の実効値で割ったものです．矩形波に含まれる基本波の実効値は式1でn=1とし，正弦波の実効値がピーク値の1/√2であることを考慮すると，4/(√2 *π)となることが分かります．
　基本波と高調波の，2乗和の平方根が，矩形波の実効値であることを利用すると，高調波の実効値を求めることができます．求めた基本波と高調波の実効値から，THDを計算すると，√(π²/8-1)=0.483となり，約48%になります．

■解説

●全高調波ひずみ率とは
　全高調波ひずみ率(THD)は，オーディオ機器のスペックの中でも特に重要視されるスペックです．理想的なオーディオ用パワーアンプに求められるのは，入力された信号と全く同じ波形で，振幅だけを大きくした信号を出力することです．
　ところが，実際のアンプでは，入力波形と出力波形が微妙に異なってしまうことがあります．この波形のゆがみの量を数値化するためのスペックが，THDです．正弦波信号に含まれる周波数成分は，1つだけですが，波形がゆがむと，高調波と呼ばれる元の信号周波数の，整数倍の周波数の成分が発生します．
　THDは，波形のゆがみによって発生した高調波成分と，元の信号周波数の基本波成分の比です．基本波の実効値をV₁，高調波の周波数ごとの実効値をそれぞれV₂，V₃，V₄....とすると，THDは，式2で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

●矩形波の全高調波ひずみ率を計算する
　周期信号をフーリエ級数展開すると，基本波と高調波の和として計算することができます．矩形波のフーリエ級数展開の一般式の式1を利用すると，振幅±1Vで角周波数ωの矩形波は，式3のように表すことができます．

・・・・・・(3)

　矩形波に含まれる高調波成分は，基本波の奇数倍のもので，n次高調波は振幅が1/nとなり，無限に続くことになります．高調波の次数を限定すれば，式3の各高調波電圧を式2に代入することで，全高調波ひずみ率(THD)を計算することができますが，ここでは別の求め方をしてみます．矩形波の実効値をV_SQとし，その矩形波の，基本波の実効値をV₁，全ての高調波の合計の実効値をV_hとすると，式4が成立します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4を変形して，V_h²を求めると，式5になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　また，式2は式6のように表すことができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　そして，式6に式5を代入すると，THDは，式7のように求められます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　振幅±1Vの矩形波の実効値は，1Vです．また，矩形波に含まれる基本波のピーク値は，式3から，4/πになることが分かります．正弦波の実効値は，ピーク値の1/√2なので，矩形波に含まれる基本波の実効値は，4/(√2*π)になります．この値を式7に代入すると，THDは式8のように約48.3%と計算できます．

・・・・・・・・・・(8)

●矩形波の全高調波ひずみ率を求める
　図2は，LTspiceのシミュレーションにより，矩形波の全高調波ひずみ率(THD)を求めるための回路です．使用しているアンプの内部回路は，電圧制御電圧源のtable関数を使用したものになっており，ゲイン100dBで出力電圧が制限されるようになっています．LTspiceでTHDを求めるときには「.four」コマンドを次のように使用します．

.four ＜周波数＞ [解析次数] [解析周期] ＜解析データ＞

　「周波数」と「解析データ」は，必須項目で，解析する信号の周波数とTHDを求めたい出力電圧を指定します．「解析次数」と「解析周期」は必要に応じて記入します．「解析次数」を指定しない場合は9次の高調波まで計算しますが，図2では99次の高調波まで求めるように指定しています．

図2　LTspiceで矩形波のTHDを求めるための回路
99次の高調波まで求めるように指定している．

　解析終了後，「Ctrl+L」キーを押してエラー・ログを表示すると，THDを確認することができます．エラー・ログには，図3のように，基本波と99次までの高調波の振幅とTHDが表示されます．THDは47.7%となっていることが分かります．解析する次数を99次までとしていることもあり，式7の計算結果よりもわずかに小さくなっています．

図3　「.four」の解析結果
THDは，約48%となっていることが分かる．

　出力波形に含まれる高調波は，LTspiceの波形ビューアに含まれるFFT機能を使用して確認することもできます．波形ビューアで出力波形を表示した後，[View][FFT]とすると，図4のようなFFT解析結果が表示されます．1kHzの基本波成分が最も大きく，3kHz，5kHz，7kHzといった奇数次の高調波がずっと続いていることが分かります．

図4　出力波形(矩形波)をFFT解析した結果
奇数次の高調波がずっと続いている．

●全高調波ひずみ率の解析精度を上げる方法
　全高調波ひずみ率(THD)の大きな回路を解析する場合は，あまり問題になりませんが，非常にTHDの小さなアンプ等を解析する場合，LTspiceの解析精度が問題になります．
　図5は，LTspiceのTHD解析の精度を確認するための回路です．電圧源で発生させた正弦波のTHDを測定しているので，理想的には「THD=0%」となります．しかし，解析精度の問題があるため，0%にはなりません．

図5　LTspiceのTHD解析の精度を確認するための回路
正弦波のTHDを測定しているため，理想的には「THD=0%」となるはず．

　図6は，図5の回路のTHD解析の結果です．

図6　図5の回路のTHD解析の結果
THDは，0.11%となっており，解析精度に問題がある．

　LTspiceのTHD解析の精度を上げるためには，「出力データ圧縮を制限する」，「トランジェント解析の最大刻み幅を小さくする」という方法があります．「出力データ圧縮を制限する」ためには，「.options plotwinsize =0」というオプション指定を行います．「トランジェント解析の最大時間刻み幅を小さくする」ためには，「Maximum Timestep」を指定します．図7は，両方の対策を行った回路です．

図7　LTspiceのTHD解析の精度を上げるための対策を実施した回路
最大時間刻み幅を0.1usとし，出力データ圧縮をしないようにしている．

　図8は図7の解析結果です．「THD=0.000000%」となっており，十分な精度となっていることが分かります．

図8　THD解析の精度を上げた場合の解析結果
「THD=0.000000%」と十分な精度が得られている．

　以上，オーディオ用アンプの全高調波ひずみ率(THD)について解説しました．LTspiceの解析の精度をさらに上げるための設定として，「.options numdgt=7」というオプション指定もあります．このオプション指定を行うと，LTspiceの内部演算を倍精度で解析します．もし，解析精度に問題が発生した場合に指定してみてください．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice9_003.zip

●データ・ファイル内容
THD_SQ.asc：図3の回路
LimitAmp.asy:図3で使用しているアンプのシンボル
LimitAMP.asc::図3で使用しているアンプの内部回路
THD_sin.asc：図5の回路
THD_Pws0_Mts0.1u.asc：図7の回路