雑音の基礎

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■問題

【ノイズ】

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1の(a)～(d)の4つの回路は，熱雑音またはショット雑音による，outの出力雑音電圧を計算する回路例です．(a)～(d)の回路で，1Hzあたりのoutの出力雑音電圧が最も低いのはどの回路でしょうか．

図1　熱雑音またはショット雑音を用いて雑音を計算する4つの回路例
outの出力雑音電圧が最も低いのは(a)～(d)のどれ？

(a) 10kΩのみの回路
(b) 10kΩと20kΩを直列にした回路
(c) 10kΩと20kΩを並列にした回路
(d) ダイオードの順方向電圧を使った回路

■ヒント

　図1の(a)～(c)の抵抗の熱雑音電圧は，抵抗をRとすると「v_n=(4kTRΔf)^1/2」になります．また，(d)のダイオードのショット雑音電流は，直流電流をI₁とすると「I_n=(2qI₁Δf)^1/2」になります．この計算式を使って，4つの回路におけるoutの出力雑音電圧を計算します．ここで，kはボルツマン定数「k=1.38×10^-23JK^-1」，Tは絶対温度で27℃のとき「k=300K」，qは電子の電荷「1.602×10^-19C」，Δfは雑音帯域幅で「Δf=1Hz」とします．

■解答

(d) ダイオードの順方向電圧を使った回路

　outの出力雑音電圧をv_nとし，図1の(a)～(d)の雑音を次のように求めます．

(a)は「v_n=(4kTR₁Δf)^1/2=12.9nV/√Hz」
(b)は「v_n=(4kT(R₁+ R₂)Δf)^1/2=22.3nV/√Hz」
(c)のR₁とR₂の並列抵抗を(R₁||R₂)とすると,「v_n=(4kT(R₁||R₂)Δf)^1/2=10.5nV/√Hz」
(d)のダイオードの小信号抵抗をr_eとすると「v_n=(2qI₁Δf)^1/2×r_e=4.7nV/√Hz」

　この検討より，最も出力雑音電圧が低いのは，(d)のダイオードの順方向電圧を使った回路となります．

■解説

●雑音とは
　雑音は，回路システム全体の出力信号に干渉し，その出力信号に望ましくない不規則な変化を加えるものとして，広い意味で使われます．雑音を大きく分けると次の4つになります．

・商用電源のハム
・電磁波
・機械的な振動などの外的な要因
・抵抗や半導体デバイスの内部から発生する内的な要因

　ここでは，内的な要因になる「熱雑音」と「ショット雑音」について解説します．熱雑音とショット雑音は，周波数が変化しても雑音は一定で変わりません．この特性から，雑音が干渉して無視できないような，オーディオ信号を試聴すると，スピーカから聞こえる雑音は「サー」というような音に聞こえます．
　オーディオ回路を設計するとき，抵抗値や電流値は，さまざまな制約があります．このような制約の中で，低雑音設計をするときは，雑音の計算を元に最適な回路を選び，そして最適な回路定数にしていきます．以降では，熱雑音とショット雑音の性質について解説します．その後，図1の(a)～(d)の具体的なoutの雑音について机上計算とシミュレーションで確認します．

●熱雑音について
　熱雑音は，導体中の電荷キャリアが熱で励起され，不規則に動く熱擾乱から発生する雑音で，回路の部品では，抵抗で発生します．抵抗(R)で発生する熱雑音の式は「v_n²=4kTRΔf」になります．ここでkはボルツマン定数，Tは絶対温度，Rは抵抗値，Δfは雑音帯域幅です．式中にRとTがあり，熱雑音のv_n²は抵抗値と絶対温度に比例します．Δfは雑音帯域幅で，1Hzの帯域幅は1～2Hz間，10Hz～11Hz間，…，1000Hz～1001Hz間も同じ雑音帯域幅になります．この関係より，周波数が変化しても1Hzの雑音帯域幅におけるv_n²は一定になり，熱雑音の周波数特性はフラットになります．

●ショット雑音について
　ショット雑音は，半導体のPN接合にある電位障壁を流れる直流電流により発生します．直流電流(I₁)で発生するショット雑音の式は「I_n²=2qI₁Δf」になります．ここで，qは電子の電荷，I₁は直流電流，Δfは雑音帯域幅です．式中に，I₁があり，ショット雑音のI_n²は直流電流に比例します．Δfは熱雑音で検討したものと同じなので，周波数が変化してもショット雑音のI_n²は一定になり，熱雑音と同じように周波数特性はフラットになります．ショット雑音は真空管でも発生します．電位障壁のない導体ではショット雑音は発生しません．

●図1(a)の机上計算とシミュレーション
　図2は，図1(a)の抵抗を抜き出し，R₁の抵抗で発生する熱雑音電圧(v_n)を直列に接続した等価回路です．

図2　10kΩの抵抗とその熱雑音電圧(v_n)を表した等価回路．

　図1(a)のoutの出力雑音電圧は図2のR₁の熱雑音電圧(v_n)が現れるので，「R₁=10kΩ」を用いると式1になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　図3は，図1(a)をシミュレーションする回路です．ノイズ・シミュレーションは「.noise」ステートメントを用い，1Hz～100kHz間を周波数が10倍あたり100ポイントのスイープでoutの出力雑音電圧をプロットします．

図3　図1(a)をシミュレーションする回路

　図4は，図3のシミュレーション結果です．outの出力雑音電圧は，12.9nV/√Hzになり，式1の机上計算と一致します．

図4　図3の出力雑音電圧のプロット
出力雑音電圧は机上計算と等しい．

●図1(b)の机上計算とシミュレーション
　図5(a)は，図1(b)のR₁の熱雑音電圧(v_n1)とR₂の熱雑音電圧(v_n2)を表した等価回路です．直列抵抗の雑音は，図5(b)のように，R₁とR₂を加えた抵抗の熱雑音電圧(v_n)と考えることができます．

図5　図1(b)の等価回路
(a)　10kΩと20kΩの直列抵抗とその熱雑音電圧(v_n1，v_n2)を表した等価回路
(b)　直列抵抗を1つの抵抗で表した等価回路

　図1(b)のoutの出力雑音電圧は図5(b)の「R₁+R₂」の熱雑音電圧(v_n)が現れるので，「R₁=10kΩ，R₂=20kΩ」を用いると式2になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　直列の雑音の計算で間違えやすいのは，式3のようにv_n1とv_n2を加算した結果にならないことです．雑音の加算は各々の２乗平均値を加えます．このことから「v_n²= v_n1²+ v_n2²」となり，式2の計算になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　図6は，図1(b)をシミュレーションする回路です．「.noise」ステートメントは，図3と同じでoutの出力雑音電圧をプロットします．

図6　図1(b)をシミュレーションする回路

　図7は，図6のシミュレーション結果です．outの出力雑音電圧は，22.3nV/√Hzになり，式2の机上計算と一致します．

図7　図6の出力雑音電圧のプロット
出力雑音電圧は机上計算と等しい．

●図1(c)の机上計算とシミュレーション
　図8(a)は，図1(c)のR₁の熱雑音電圧(v_n1)とR₂の熱雑音電圧(v_n2)を表した等価回路です．並列抵抗の雑音は，図8(b)のように，R₁とR₂の並列抵抗の熱雑音電圧(v_n)と考えることができます．

図8　図1(c)の等価回路
(a)　10kΩと20kΩの並列抵抗とその熱雑音電圧(v_n1，v_n2)を表した等価回路
(b)　並列抵抗を1つの抵抗で表した等価回路

　R₁とR₂の並列抵抗は，式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4の並列抵抗の熱雑音電圧は，式5になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　図9は，図1(c)をシミュレーションする回路です．「.noise」ステートメントは，図3と同じでoutの出力雑音電圧をプロットします．

図9　図1(c)をシミュレーションする回路

　図10は，図9のシミュレーション結果です．outの出力雑音電圧は，10.5nV/√Hzになり，式5の机上計算と一致します．

図10　図9の出力雑音電圧のプロット
出力雑音電圧は机上計算と等しい．

●図1(d)の机上計算とシミュレーション
　図11は，図1(d)のI₁の直流電流がダイオードに流れるときのショット雑音電流(I_n)とダイオードの小信号抵抗(r_e)を使って表した等価回路です．outの出力雑音電圧(v_n)は，I_nとr_eの積になります．ダイオードの小信号抵抗(r_e)は，ダイオードの動作から生まれる特性なので，実際の抵抗ではありません．このため，r_eは熱雑音を発生しません．

図11　ショット雑音とダイオードの小信号抵抗で表した等価回路

　直流電流（I₁）によるショット雑音電流(I_n)は，式6になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　ダイオードの小信号抵抗は，熱電圧(V_T)と直流電流（I₁）より式7になります．ここで常温(27℃)での熱電圧はおおよそ「V_T=26mV」です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式6と式7を使い，図1(d)のoutの出力雑音電圧(v_n)は，式8になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　図12は，図1(d)をシミュレーションする回路です．「.noise」ステートメントは図3と同じで，outの出力雑音電圧をプロットします．

図12　図1(d)をシミュレーションする回路

　図13は，図12のシミュレーション結果にです．outの出力雑音電圧は4.6nV/√Hzになり，式8の机上計算とほぼ一致します．以上の検討より，図1の(a)～(d)の中でoutの出力雑音電圧が最も低いのは図1(d)になるのが分かります．

図13　図12の出力雑音電圧のプロット
出力雑音電圧は机上計算と等しい．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice9_002.zip

●データ・ファイル内容
thermal noise1.asc：図3の回路
thermal noise1.plt：図3のプロットを指定するファイル
thermal noise2.asc：図6の回路
thermal noise2.plt：図6のプロットを指定するファイル
thermal noise3.asc：図9の回路
thermal noise3.plt：図9のプロットを指定するファイル
shot noise.asc：図12の回路
shot noise.plt：図12のプロットを指定するファイル