三角波と矩形波を発生させる信号発生器

■問題

OPアンプ回路

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，out1に三角波，out2に矩形波を発生させるファンクション・ジェネレータです．回路は，aの電圧を生成する回路，積分回路，ヒステリシス・コンパレータ，スイッチで構成され，aの電圧で，三角波や矩形波の特性を変化させます．
　この回路で，V₁の直流電圧を2.5Vから3.5Vへ変化させたとき，out2の矩形波の変化として正しいのは(a)～(d)のどれでしょうか．ただし，OPアンプは，入出力レール・ツー・レールの特性で，スイッチは，out2が「“H”でOFF」，「“L”でON」とします．

図1　三角波と矩形波を発生させるファンクション・ジェネレータ
out1が三角波，out2が矩形波になる．

(a)周波数が高くなる
(b)周波数が低くなる
(c)デューティ比が高くなる
(d)デューティ比が低くなる

■ヒント

　V₁の電圧が2.5Vから3.5Vに変わると，積分回路の入力となるaの電圧(V_a)が変わります．aの電圧が変わることにより，周波数とデューティ比の変化はどうなるかを検討すると分かります．

■解答

(a)周波数が高くなる

　図1のV_aは，out2が“H”のとき，スイッチはOFFして「V_a=+V₁」になります．逆に，out2が“L”のとき，スイッチはONして「V_a=-V₁」になります．このようにV_aは，スイッチの状態により2つの電圧を生成します．
　V₁が2.5Vから3.5Vへ高くなると，V_aの2つの電圧は「V_a=+2.5V，V_a=-2.5V」から「V_a=+3.5V，V_a=-3.5V」へ変わります．V_aが高くなると，C₁への充電電流と放電電流が高くなって，out1の三角波の斜辺の傾きが高くなり，周波数が高くなります．out1の三角波の周波数が高くなるので，out2の矩形波の周波数も高くなります．
　一方，out2のデューティ比は，ヒステリシス・コンパレータのしきい値で決まります．しきい値は，out2の電圧とR₅とR₆で決まり，V₁に関係ないのでデューティ比は変わりません．
　以上の動作より，V₁が2.5Vから3.5Vへ変化すると，(a)の周波数が高くなるが正解になります．

■解説

●三角波と矩形波を発生する基本回路
　図1の三角波と矩形波を発生させるファンクション・ジェネレータは，図2の三角波と矩形波を発生させる基本回路が元になっています．図2は図1のaの電圧を生成する回路とスイッチが無い回路になります．図2の場合，積分回路の入力とヒステリシス・コンパレータの出力(out2)を結線しています．よってout2の“H”電圧と“L”電圧の2つの状態により，積分回路の入力は「V_a=+V_o」と「V_a=-V_o」の2つの電圧になります．

図2　三角波と矩形波を発生させる基本回路

●基本回路の動作
　図2の回路動作ついて，図3のプロットを用いて解説します．図3は，図2をシミュレーションしたプロットです．図3の上段が，out1の三角波，図3の下段がout2の矩形波になります．図3の上段に示した+V_THはヒステリシス・コンパレータの正のしきい値，-V_THは，ヒステリシス・コンパレータの負のしきい値です．図3の下段に示したTが，矩形波の1周期になる時間です．

図3　基本回路のout1とout2の波形をプロット
上段はout1の三角波，下段はout2の矩形波．

　out2が+V_oのとき，積分回路の入力とヒステリシス・コンパレータの出力を結線しているので，図2の積分回路の入力は「V_a=+V_o」になります．積分回路の入力が「V_a=+V_o」のときは，R₄からC₁へ向かって電流が流れ，out1は時間の経過とともに電圧が低くなる三角波の斜辺となります．その電圧がヒステリシス・コンパレータの負のしきい値である-V_THと交差すると，out2は，-V_oに切り替わります．
　out2が-V_oに切り替わると，積分回路の入力が「V_a=-V_o」になって，C₁からR₄へ向かって電流が流れ，out1は，時間の経過とともに電圧が高くなる三角波の斜辺に変わります．その電圧がヒステリシス・コンパレータの正のしきい値と交差すると，out2は+V_oに戻ります．
　この一連の動きが1周期になり，その後は継続して繰り返されるので，out1は三角波が発生し，out2は矩形波になります．
　以上の動作より，三角波の周波数は，積分回路で発生する三角波の斜辺の傾きに関係し，傾きが高いと周波数が高くなります．具体的に，三角波の斜辺の傾きは，C₁とR₄で決まります．よって，周波数の調整は，積分回路のC₁とR₄の回路定数で調整します．デューティ比は，ヒステリシス・コンパレータのしきい値で決まります．+V_THと-V_THの絶対値が等しいとき，デューティ比は，50%になります．

●三角波と矩形波の周波数
　図2の周波数について，図3の波形も用いながら机上計算します．図3のT/2の時間において，コンデンサ(C₁)の電流をI_C1とすると，I_C1は，積分回路の入力電圧V_aと抵抗R₄で決まるので式1になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　図3の上段のプロットのように，積分回路のコンデンサの電圧(V_C1)は，T/2の時間で2V_THの電圧変化になります．この関係は式2になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式1と式2のI_C1が等しく，また，1周期の逆数が周波数であることより，三角波の周波数は式3になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　次に，ヒステリシス・コンパレータの正のしきい値(+V_TH)と負のしきい値(-V_TH)を求めます．ヒステリシス・コンパレータの2つのしきい値はR₅とR₆の抵抗値と，out2の電圧で決まります．図2のout2の負側の電圧を-V_oとすると，正のしきい値は式4になります．
　具体的に，図2の抵抗は「R₅=2kΩ」，「R₆=10kΩ」です．そして，使用しているOPアンプは，入出力レール・ツー・レールなので，OPアンプ出力の-V_oは負の電源と同じ-5Vになり「-V_o=-5V」です．これらを式4に入れると，「+V_TH=1V」になります．図3の上段の+V_THも1Vになっているのが分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　同じように，図2のout2の正側の電圧を+V_oとすると，負のしきい値は，式5になります．式5に「R₅=2kΩ」，「R₆=10kΩ」，「+V_o=+5V」を入れると，「-V_TH=-1V」になります．図3の上段の-V_THも-1Vになっているのが分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式3の周波数を使いやすい式にします．積分回路の入力とヒステリシス・コンパレータの出力を結線しているので「V_a=V_o」になること，式4と式5よりしきい値の絶対値は「V_TH=(R₅/R₆)*V_o」になることを用い，これらを式3に入れると，式6の周波数の式に書き換えられます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6に図2の「C₁=0.01μF」,「R₄=124kΩ」,「R₅=2kΩ」,「R₆=10kΩ」を入れると，「f=1kHz」になります．図3のプロットでカーソルを用いて周波数を調べると，机上計算と同じ1kHzの結果になります．
　ヒステリシス・コンパレータのしきい値の導出については，過去のメルマガ「ヒステリシス・コンパレータのしきい値」で詳しく解説していますので，そちらを参照してください．

●V₁の電圧で周波数を変える
　図2を元に，三角波と矩形波の周波数を電圧で変える回路が図1になります．図2から図1への変更点は，aの電圧を生成する回路を追加し，out2の電圧で切り替わるスイッチのON/OFFにより，積分回路の入力になる2つのV_aをV₁の電圧源から供給します．具体的には，図1のaの電圧を生成する回路は，スイッチがOFFになると，U₁のOPアンプの反転端子と非反転端子がバーチャル・ショートになります．このときのaの電圧は，式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　次に，スイッチがONになると，R₁とR₂，U₁による反転アンプになります．このときのaの電圧は，R₁とR₂は同じ抵抗値なので，式8になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　このように，図1のスイッチはout2の状態で切り替わり，aの電圧は式7と式8の2つの状態になります．

●具体的なスイッチを使ってシミュレーションする
　図4は，図1をシミュレーションする回路で，図1のスイッチをLTspiceで使える部品で具体化しています．U₅のアナログ・スイッチは，DとS間がスイッチになり，INは，スイッチの状態をコントロールする端子です．U4のコンパレータは，アナログ・スイッチのINの入力レベルに合わせるために使います．周波数を変えるV₁の電圧は，変数｛in｝で値を変えられるようにしています．「.meas」ステートメントの4行はout2の矩形波の周波数とデューティ比を自動で計算します．

図4　図1をシミュレーションする回路
図1のスイッチは，U4のコンパレータとU₅のアナログ・スイッチで置き換えている．

　図4の三角波と矩形波が発生する原理は，図2の基本回路と同じなので，先程の式1～式5の机上計算が使えます．図4のV₁が2.5Vのときの周波数は，式3から求められます．aの電圧を生成する回路より，式3のV_aは「V_a=2.5V」，V_THは，式4と式5より「V_TH=1V」なので，式9の504Hzになります．

・・・・・・・・・・・・(9)

　V₁が3.5Vになると，同じ計算により「V_a=3.5V」,「V_TH=1V」なので，式10の706Hzになります．このようにV₁が高くなると周波数が高くなります．

・・・・・・・・・・・・(10)

●周波数とデューティ比の確認
　図5は，図4のV₁の変数｛in｝を「.param in=2.5」で2.5Vにしたときのシミュレーション結果です．上段がaの波形，中段がout1の三角波の波形，下段がout2の矩形波の波形になります．

図5　V₁=2.5Vのときの波形をプロット
上段はa点の波形．
中段はout1の三角波の波形．
下段はout2の矩形波の波形．

　V₁が2.5Vなので，上段のaの電圧は，スイッチOFFで2.5V，スイッチONで-2.5Vになります．中段の三角波と下段の矩形波の周波数は，式9で求めた504Hzとほぼ同じ周波数になります．デューティ比は，V₁の電圧に関係せず，ヒステリシス・コンパレータの2つのしきい値である+V_THと-V_THで決まります．+V_THと-V_THの絶対値が等しいときは，デューティ比は50%になります．

　図6は，図4のコメントにしていた「.step param in 1 4 0.1」をSPICE directiveにし，V₁の変数｛in｝を1V～4Vを0.1Vステップでスイープしたときの，「.meas」で計算した周波数とデューティ比をプロットしました．図6の上段はV₁を変化させたときの周波数の変化，下段はV₁を変化させたときのデューティ比の変化になります．このプロットより，V₁が変化すると周波数が変わります．先程の式10で計算したV₁が3.5Vのときの周波数706Hzはシミュレーションとほぼ一致します．デューティ比は，V₁に関係ないので，50%で一定になります．図6より，問題の答えは，(a)の周波数が高くなるが正解になるのが分かります．

図6　V₁の直流電圧をスイープしたときの特性
上段は矩形波の周波数でV₁に比例して変化する．
下段は矩形波のデューティ比でV₁に依存せずに一定になる．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice8_044.zip

●データ・ファイル内容
Function Generator 1.asc：図2の回路
Function Generator 1.plt：図2のプロットを指定するファイル
Function Generator 2.asc：図4の回路
Function Generator 2.plt：図4のプロットを指定するファイル