LTspiceでディジタル・フィルタを確認する




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■問題
使用するコマンド ― .AC

小川 敦 Atsushi Ogawa

 図1は,移動平均フィルタと呼ばれるディジタル・フィルタのブロック図です.4つの遅延回路は,入力信号をサンプリング周期Tだけ遅延させ,4つの遅延した(過去の)信号の値を出力します.遅延回路の右側にある平均回路は,入力信号と4つの遅延信号を加算し,5分の1にした値を出力します.
 この移動平均フィルタは,ローパス・フィルタと特定の周波数の信号を減衰させるノッチ・フィルタとして動作します.サンプリング周波数をfS=1/Tとしたとき,ノッチ周波数(fn)の式として正しいのは(a)~(d)のどれでしょうか.


図1 移動平均フィルタのブロック図
x[n],y[n]は時間nのときのデータで,x[n-1]はnよりも1サンプリング周期前(過去)の信号を表している.

(a) fn=fs/4 (b) fn=fs/5 (c) fn=fs/6 (d) fn=fs/7

■ヒント

 正弦波信号の1周期分の平均値を計算すると,その結果は0になります.図1の回路ではどのように平均値を計算しているかを考えれば,答えは簡単に分かります.

■解答


(b) fn=fs/5

 図1の平均回路では,入力信号と4つの遅延信号を加算し,5分の1にした値を計算しています.遅延回路1つの遅延時間はTなので,5Tの期間の信号の平均値を計算していることになります.
 もし,1周期が5Tの正弦波信号が入力されると,その平均値は0になり,出力されないことになります.周期が5Tの信号の周波数は「fn=1/(5T)=fs/5」となり,これがノッチ・周波数になります.


■解説

●アナログ信号とディジタル信号
 アナログ信号は,図2(a)のような時間的に連続したものです.また,ディジタル信号は,図2(b)のようなサンプリング周期(T)ごとにとびとびになっています.サンプリング周期の逆数がサンプリング周波数fSです.サンプリング周波数は,入力信号周波数の2倍よりも大きくする必要があります.また,ディジタル信号は縦軸の値も連続ではなく,分解能に応じたとびとびの値となります.ここでは,分解能は十分高いものとして扱います.


図2 アナログ信号とディジタル信号の違い
ディジタル信号はサンプリング周期(T)ごとにとびとびになっている.

●移動平均フィルタのローパス特性
 アナログ・フィルタは,抵抗やコンデンサで構成します.ディジタル・フィルタは,遅延回路と演算回路で構成します.遅延回路を使用することで,数サンプル前のデータと現在のデータの演算を行うことができます.
 ディジタル・フィルタの中で,もっともシンプルなものが,移動平均フィルタです.図3は,Excelで作成した,移動平均フィルタの効果を確認するためのグラフです.分かりやすくするために,データ間を線で接続しています.
 青色のデータは,必要とする信号に,それよりも高い周波数のノイズが混入した入力信号です.オレンジ色のデータはそれぞれ,x[n],x[n-1],x[n-2],x[n-3],x[n-4]の5点のデータの平均を計算したものです.遅延素子を4つ使用した,図1の移動平均フィルタの出力に相当するものになります.5点のデータの平均値をとることで,ノイズ成分が減少していることが分かります.図3から分かるように,移動平均フィルタは高い周波数成分を減衰させる,ローパス・フィルタとして動作します.


図3 移動平均フィルタの効果を確認するためのグラフ
5点のデータの平均値をとることで,ノイズが減少していることが分かる.

●移動平均フィルタのノッチ特性
 移動平均フィルタは,ローパス・フィルタとして動作すると共に,ノッチ・フィルタとしても動作します.図4は,移動平均フィルタがノッチ・フィルタとしても動作することを確認するためのグラフです.青色の入力信号の周波数(f)はf=1/(5T)となっています.オレンジ色が,遅延回路を4つ使用した図1の移動平均フィルタの出力に相当するものです.x[n],x[n-1],x[n-2],x[n-3],x[n-4]の5点のデータの平均を計算したものになっています.


図4 移動平均フィルタがノッチ・フィルタとなることを確認するためのグラフ
5点のデータの平均値は0になる.

 図4を見ると分かるように,入力信号の1周期(黄色ハッチング部分)が5Tなので,その1周期の中のデータの平均値は0になります.つまり,図1の移動平均フィルタでは,周波数1/(5T)の信号は出力に現れず,ノッチ周波数(fn)は1/(5T)になります.サンプリング周波数をfSとし,移動平均フィルタに使用する遅延回路の段数をNとすると,ノッチ周波数(fn)は式1で表されます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

●LTspiceで移動平均フィルタを確認する
 図5は,図1の移動平均フィルタの周波数特性をLTspiceでシミュレーションするための回路です.X1~X4は遅延回路です.fsという変数の値を250としていますが,これはサンプリング周波数に相当するものです.そして,fsの逆数をTという変数に代入し,遅延時間を設定しています.


図5 移動平均フィルタの周波数特性をLTspiceでシミュレーションするための回路
X1~X4は遅延回路で,R1~R5により平均値を出力する.

 遅延回路(X1~X4)の中は図6のようにB電源(bitrary Behavioral Voltage )を使用した回路になっています.V=Delay(V(IN),T)とすることで,IN端子の電圧を,Tという変数で指定した時間だけ遅延させ,Out端子に出力します.
 ここで,IN端子の[Port Type]はInputとし,Out端子の[Port Type]はOutputとしてあります.LTspiceで,階層設計用のシンボルを作るときは,使用する回路図を名前を付けて保存し,上部のメニューから[Hirearchy][Open this Sheet's Symbol]を選択します.すると,自動的にシンボルを作るか聞かれるので,OKボタンを押すと,回路図と同じ名前のシンボルが作成されます.図5では,このようにして作成したシンボルを使用しています.


図6 B電源を使用した遅延回路
遅延時間はTという変数で指定する.

 図5のR1~R5でそれぞれの信号を加算し,1/5とすることでOut端子には平均値が出力されます.図7は,R1~R5により平均値が出力されることを説明するための回路図です.


図7 R1~R5により平均値が出力されることを説明するための回路
V(xn)はR1と「R2~R5の並列抵抗」で分圧される.

 図5において,V(xn)のみ信号があり,それ以外のV(xn-1)~V(xn-4)が0Vだったとすると,図7の回路と等価になります.図7において,V(xn)はR1と「R2~R5の並列抵抗」で分圧されます.そのため,R1~R5の抵抗値をRとすると,V(Out)は式2のようになります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

 V(xn-1)等でも同様な式となり,それぞれの信号を重ね合わせると,V(Out)は式3で表されます.

・・・・・(3)

 式3のように,Out端子には5つの信号の平均値が出力されることになります.

●移動平均フィルタの周波数特性をLTspiceで確認する
 図8は,図5の移動平均フィルタの周波数特性のシミュレーション結果です.

図8 移動平均フィルタの周波数特性のシミュレーション結果
サンプリング周波数(fS)を250Hzとしたため,ノッチ周波数は50Hzとなっている.

 サンプリング周波数(fS)を250Hzとしたため,移動平均フィルタのノッチ周波数は式4のように50Hzとなります.シミュレーションでもノッチ周波数は50Hzとなっています.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

 なお,ノッチ特性は,50Hzだけでなく,その倍数である100Hzや150Hzでも見られます.家庭用電源から発生するハム・ノイズのようなものは,ひずんで高調波成分が含まれていることがあります.また,図8のような特性は,高調波成分を含んだノイズに対しても有効です.
 以上,移動平均フィルタについて解説しました.アナログ・フィルタは,アナログ回路を組み合わせることで,さまざまな特性のフィルタが作れます.同様に,ディジタル・フィルタも遅延回路や演算回路を組み合わせることで,さまざまな特性のフィルタを作ることができます.


■データ・ファイル

解説に使用しました,LTspiceの回路をダウンロードできます.
LTspice7_045.zip

●データ・ファイル内容
MAF.asc:図5の回路
delay.asc:図7の回路
delay.asy:遅延回路のシンボル

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