信号を加減算するアンプ

■問題
使用するコマンド ― .OP/.TRAN

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，V₁～V₆の6つの入力電圧を加減算してOUTから出力するアンプです．6つの入力は直流電圧で,「V₁=1V」,「V₂=3V」,「V₃=4V」,「V₄=5V」,「V₅=3V」,「V₆=2V」です．この場合，OUTの直流電圧は(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　V₁～V₆が入力となる加減算アンプの回路
OUTの直流電圧は何V？

(a) 1V　(b) 2V　(c) 8V　(d) 10V

■ヒント

　図1のV₁～V₃は，反転アンプの入力，V₄～V₆は非反転アンプの入力になります．回路に電圧源が複数あるときは重ね合わせの理を使うと便利です．重ね合わせの理は，複数個ある電圧源，また，電流源を1つ残して各々回路解析し，その結果を重ねる(解を加え合わせる)ことにより回路解析できます．回路の電圧源や電流源を1つ残すときは，他の電圧源をショート，他の電流源をオープンにして計算します．

■解答

(b) 2V

　図1を重ね合わせの理を使って解析します．具体的には，6つの入力電圧源のうち，1つの入力電圧源を残し，他の入力電圧源をショートして各々回路解析します．そして，その結果を重ねることにより求められます．以下の計算で，図1の抵抗は全て同じ10kΩですので，計算し易いように抵抗を「R」で表しています．
　最初に図2(a)のようにV₁を残して，他の入力電圧源をショートします．ショートすると抵抗の片側は，GNDになります．反転端子に付く「R/2」は図1のR₂とR₃の並列抵抗です．そして，非反転端子に付く「R/4」は，R₄，R₅，R₆，R₇の並列抵抗です．この回路は反転アンプであり，反転端子はバーチャル・グラウンドなので「R/2」の両端がGNDになって，電圧差がゼロなので無いものと考えることができます．なので，図2(a)のゲインは，反転アンプのゲイン「G=-R/R=-1倍」になり，そのときの出力電圧は「V_OUT1=-V₁」になります．同じことがV₂を残したときと，V₃を残したときの解析にも当てはまるので「V_OUT2=-V₂」，「V_OUT3=-V₃」になります．

図2　反転側と非反転側の入力信号を1つ残し，他をショートにした回路
(a)　V₁の検討をするときは反転アンプになる．V₂，V₃も同じ．
(b)　V₄の検討をするときは非反転アンプになる．V₅，V₆も同じ．

　次に，図2(b)のようにV₄を残して他の入力電圧源をショートします．この回路は非反転アンプです．図2(b)はV₄の電圧を「R」と「R/3」の抵抗分圧した「V₄/4」の電圧が非反転端子に加わります．そして，その電圧を非反転アンプのゲイン「G=1+R/(R/3)=4倍」で増幅するので，出力電圧は「V_OUT4=V₄」になります．同じことがV₅を残したときと，V₆を残したときの解析にも当てはまるので「V_OUT5=V₅」，「V_OUT6=V₆」になります．
　最後に重ね合わせの理を使ってV_OUT1～V_OUT6の6つの電圧を加えると式1になり，V₁～V₆の電圧を入れると2Vになります．これより答えは，(b)の2Vになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

■解説

●加減算回路の一般的な構成について(前半)
　解説の前半では，一般的な加減算アンプについて検討し，式1の入力と出力の関係にするときの欠点について検討します．解説の後半では，解決策として図1になること導きます．
　図3は，図1にR₈を追加した加減算アンプの一般的な回路になります．R₈は反転端子に付くトータルの抵抗値を調整するために使います．図3の入力と出力の関係は，回路定数を調整すると式2になります．式2は各入力電圧V₁～V₆をG₁～G₆のゲインで増幅して同時に加減算するアンプになります．

・・・・・・・・(2)

　図3は，6つの入力ですが，必要に応じて増やしたり減らしたりできます．

図3　加減算アンプの一般的な回路構成
図1へR₈を加えた回路．

　図3の入力と出力の関係を式2と同じにするには回路定数の調整が必要になります．ここでは，一般的な加減算アンプの入力と出力の関係を机上計算して，どのように調整するのかを検討します．
　まず，OPアンプの反転端子と非反転端子はバーチャル・ショートになるので，そのときの電圧をV_aとします．反転端子に流れ込む電流の総和は，キルヒホッフの電流則より式3となります．

・・・・・・・・(3)

　同じように，非反転端子に流れ込む電流の総和は，キルヒホッフの法則より式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式3と式4を使って整理すると，式5の入力と出力の関係となります．

・・・・・(5)

　ここで式5の赤字の式は抵抗の並列を表すので，並列抵抗をR_Nとすると式6になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　同様に，青字の式は並列抵抗をR_Iとすると式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式5を式2と同じにするには，赤字の分子と青字の分母が等しくなるようにR₇とR₈を使って調整します．そして，式2のG₁～G₆のゲインは，式5の括弧の項を展開して，「G₁=R_f/R₁」,「G₂=R_f/R₂」…「G₆=R_f/R₆」という具合に抵抗比で決めるようにします．
　実際の具体例として式5を式1と同じ入力と出力の関係にしてみます．式1は式2のG₁，G₂，…G₆のゲインが1倍になるときを表しています．式5と式1を同じにする調整は，式6と式7が「R_N=R_I」になること，および「G₁=R_f/R₁」,「G₂=R_f/R₂」…「G₆=R_f/R₆」のゲインが1になるような抵抗値の調整をします．このような抵抗値の一例は，「R₇=10kΩ」，それ以外の抵抗値は「R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R₆=R₈=R_f=20kΩ」になります．

●一般的な加減算アンプのシミュレーション
　図4は，図3の回路を使い，先程の式1になる抵抗値を使った回路です．V₁～V₆の入力電圧は，図1と同じにしました．この回路のシミュレーションをして出力電圧を調べます．使用したドット・コマンドは「.OP」です．「.OP」は回路の直流動作点を調べるときに使います．
　図4は，シミュレーション終了後にOUTの直流電圧を回路図へ表示しました．これを表示するには調べたい箇所のワイヤー上にマウスを当てて右クリックします．するとプルダウン・メニューが出ますので，「Place .OP Data Label」を選びます．図4へ表示したOUTの直流電圧は2Vなので，式1の出力電圧2Vと同じになります．

図4　図3をシミュレーションする回路
入力電圧は図1と同じ．

　このように一般的な加減算アンプを使って式1になるように調整できますが，欠点として全ての抵抗が同じになりません．先程調整した「R_N=R_I」や「G₁,G₂…G₆」のゲインは抵抗比に関係するので，同じ抵抗で作った方が調整し易くなります．この理由から式1を作るときは図1の回路になっていきます．

●加減算アンプの全ての抵抗を同じにする(後半)
　図3を回路修正して，図1のように全ての抵抗値が同じで式1の入力と出力の関係になるようにするには，先程の式5から対策方法が分かります．全ての抵抗値が同じにならない原因は，式5の赤字の分子と青字の分母を等しくするとき，赤字の分子にある「1/R₈」の項が多いことによります．R₈はG₁～G₆のゲインに影響しないので，R₈を回路から取り外せば全ての抵抗が同じで式1を作れます．R₈を取り外したときの入力と出力の関係は式8になり，その回路図が図1になります．

・・・・・(8)

　R₈を削除したときの赤字の分子の並列抵抗R_I’は式9になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

●抵抗を同じにしたときのシミュレーション
　図5は，図1をシミュレーションする回路で，使用したドット・コマンドは，図4と同じ「.OP」です．図5では4つの抵抗が1つのパッケージに入っているLT5400を使用しました．LT5400は抵抗間の整合が良いデバイスになります．抵抗間の整合をよくすると抵抗比の精度がよくなるので，実際の回路でのOUTの誤差が少なくなります．
　図5には，図4と同じようにシミュレーション終了後のOUTの直流電圧を表示しました．このようにOUTの直流電圧は2Vになり，解答の(b)と同じになるのが分かります．

図5　図1の抵抗をLT5400で実装した回路
OUTの直流電圧は2Vになる．

●入力へ直流信号と交流信号を加えたときの動作
　加減算アンプは，直流のみだけでなく，交流や直流と交流が混ざったときの加減算ができます．図6は，V₁へ振幅が0.1V，周波数が1kHzの正弦波交流電圧，V₅へ振幅が0.5V，周波数が100Hzの正弦波交流電圧，V₆へ1Vの直流電圧を加えた回路です．使用したドット・コマンドは「.TRAN」です．「.TRAN 20m」は，時間が0sから始まり，20msまでのトランジェント解析を実行するという意味になります．

図6　直流と交流が混ざった回路例
V₁とV₅は正弦波交流電圧，V₆は直流電圧．

　図7は，図6のシミュレーション結果です．V(out)がOUTのプロット，V(1)がV₁の正弦波のプロット，V(5)がV₅の正弦波のプロット，V(6)がV₆の直流電圧のプロットになります．このようにOUTの波形は，各入力電圧を同時に加減算して「V₅の交流+V₆の直流-V₁の交流」になります．

図7　図6のシミュレーション結果
OUTの波形は「V₅の交流+V₆の直流-V₁の交流」になる．

　以上，解説したように，OPアンプ1つと抵抗で加減算アンプを作ることができます．信号の加減算をするアンプのアプリケーションは，複数ある信号の処理や，テスト信号の発生など広く使われています．R_fを選ぶときの目安は，OPアンプの入力オフセット電流(I_OS)による出力電圧の誤差「ΔV_OUT=±R_fI_OS」がOUTの電圧誤差の許容範囲に入ることです．またOPアンプ入力オフセット電圧(V_OS)は「ΔV_OUT=±(1+R_f/R_I’)V_OS」となるので，こちらもOUTの電圧誤差の許容範囲に入る確認が必要になります．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice7_026.zip

●データ・ファイル内容
Differential Summing amplifier 1．asc：図4の回路
Differential Summing amplifier 2．asc：図5の回路
Differential Summing amplifier 2 tran．asc：図6の回路
Differential Summing amplifier 2 tran．plt：図7のプロットを指定するファイル