LCR共振回路のQと素子定数の関係

■問題
使用するコマンド ― .MEARS/.STEP/.PARAM/.AC

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，コイル(L₁)とコンデンサ(C₁)および抵抗(R₁)で構成されたLCR並列共振回路です．この共振回路に，交流電流源(I₁)を接続して，インピーダンス特性を調べます．この共振回路の特性の説明文として，誤っているのは(a)～(d)のどれでしょう？

図1　コイル(L₁)とコンデンサ(C₁)および抵抗(R₁)で構成された共振回路
それぞれの素子の特性は，理想とします．

(a) R₁の値を2倍にすると，Qは2倍になる
(b) R₁の値を1/2にすると，Qは1/2になる
(c) L₁の値を2倍，C₁の値を1/2にするとQは2倍になる
(d) C₁の値を2倍，L₁の値を1/2にするとQは2倍になる

■ヒント

　Q(Quality factor)は，共振回路の鋭さを表すもので，共振周波数を帯域幅で割ったものになります．また，LCR並列共振回路のQは，抵抗と，他の素子の共振周波数でのインピーダンスの比となることを考えれば，答えが分かります．

■解答

(c) L₁の値を2倍，C₁の値を1/2にするとQは2倍になる

　LCR並列共振周波数のQは，共振周波数をfとすると「Q=2πfCR」もしくは「Q=R/(2πfL)」と表すことができます．つまり，RとCの値に比例し，Lの値に反比例します．Rに比例することから，(a)と(b)は正しいことが分かります．また，Cに比例することから，(d)も正しいことになります．一方，Lに反比例となることから，(c)は誤りであることが分かります．

■解説

●LCR並列共振回路のインピーダンス特性
　図2は，図1のLCR部分だけを抜き出した並列共振回路です．図2のA，B間のインピーダンスを考えてみます．

図2　図1のLCR部分だけを抜き出した並列共振回路
A，B間のインピーダンスを計算する．

　周波数が低いときは，L₁のインピーダンスが小さく，周波数が高くなると，C₁のインピーダンスが小さくなることから，特定の周波数でインピーダンスが最大になることが予想されます．A，B間のインピーダンスは，3つの素子が並列になっているため，式1のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1で分母の虚数部が0のとき「z=R」となります．虚数部が0になるのは，式2の条件を満たしたときです．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2を変形してωを求めると式3になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　また，式3を周波数に変換すると式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4のfが共振周波数で，その周波数でインピーダンス最大となり，そのときの値はRと同じになります．LCR並列共振回路のQは，抵抗と，コイルおよびコンデンサの，共振周波数(f₀)におけるインピーダンスの比で，式5のように表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5より，LCR並列共振回路のQは，RとCの値に比例し，Lの値に反比例することが分かります．図1の定数を代入すると，式6のように「Q=15.9」となります．

・・・・・・・・(6)

●シミュレーション結果からカーソルを使用してQを求める
　図3は，図1の回路のシミュレーション結果です．信号源が電流源となっているため，縦軸は電圧の絶対値となります．dB表示となっており，値が一番大きくなる，共振周波数のときの値は80dBとなっています．交流電流源の値が1Aとなっているため，80dBはインピーダンスの絶対値が10⁴Ω=10kΩということで，R₁の値と同じであることを表しています．

図3　LCR並列共振回路のシミュレーション結果
カーソルを使用して周波数を読み取り，Qを計算する．

　Qは，共振周波数を帯域幅で割ったもので，共振周波数をf₀とすると，式7で表されます．ここで，f₁，f₂はインピーダンスが1/√2(-3dB)となる周波数です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　図3のグラフから，カーソルを使用してf₀，f₁，f₂を読み取り，Qを計算すると，式8のように15.9になります．これは，式6で計算したものと同じです．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

●「.MEARS」コマンドを使用してQを求める
　シミュレーション結果から，カーソルを使用して周波数を読み取り，Qを計算するのはかなり大変です．そこで，LTspiceの「.MEARS」コマンドを使用して，Qの計算を自動化してみます．
　「.MEARS」コマンドは，シミュレーション結果の中から，いろいろな条件を設定して，データを取り出すことができます．図4が「.MEARS」コマンドを使用して，Qを求めるための回路です．「.step」コマンドでR₁の値を5kΩ，10kΩ，20kΩと変化させ，そのときのQを求めます．

図4　「.MEARS」コマンドを使用して，Qを求めるための回路
「.step」コマンドでR₁の値を5kΩ，10kΩ，20kΩと変化させる．

　5行の「.MEARS」コマンドでQを求めていますが，各行の意味は次のようになります．

.meas AC GMax MAX mag(V(out))

AC解析結果からV(out)の最大値を探し出し，GMaxという変数に代入します．

.meas AC fo when mag(V(out))=GMax

V(out)がGMaxという値になる周波数をfoという変数に代入します．これが共振周波数になります．

.meas AC BW trig mag(V(out))=GMax/sqrt(2) rise=1 targ mag(V(out))=GMax/sqrt(2) fall=last

V(out)が大きくなっていくときと小さくなっていくとき，それぞれで，V(out)がGMaxの1/√2(-3dB)になるときの周波数の差分を，BWという変数に代入します．これが帯域幅です．

.meas AC QfdB param fo/BW

共振周波数(fo)を帯域幅(BW)で割って，QfdBという変数に代入します．この行でQの値を計算していますが，ここで得られる値は，単位が自動的にdBになっています．

.meas AC Qf param pow(10，QfdB/20)

dBの値をリニアな値に変換し，Qfという変数に代入します．これがQの最終結果になります．

　図5がR₁の値を変えた，インピーダンス特性のシミュレーション結果です．R₁を変えることで波形の最大値が変化し，また波形の鋭さも変わっていることが分かります．

図5　R₁の値を変えたインピーダンス特性のシミュレーション結果
「.MEARS」コマンドの出力の中から，Qfの計算結果だけを重ねて表示している．

　「.MEARS」コマンドの結果は，Ctrl+Lキーを押してエラーログを表示することで確認できます．Qfの計算結果だけを図5に重ねて表示しています．単位にdBがついてしまっていますが，値はリニアに変換したものが表示されています．R₁が10kΩのとき，Qは15.9なっており，図3のカーソルで読み取った値から計算した結果と一致しています．また，R₁が20kΩのときは，Qは31.7で10kΩのときの倍になり，R₁が5kΩのときはQは7.9と10kΩのときの半分になっています．

●L₁とC₁の値を変化させたときのQを求める
　次に，L₁とC₁の値を変化させたときにQがどのように変化するかをシミュレーションします．図6がL₁とC₁の値を変化させてシミュレーションするための回路です．

図6　L₁とC₁の値を変化させたときのQをシミュレーションするための回路
「.param」の中で，table関数を使用して定数の組み合わせを作っている．

　L₁の値を2倍にしたときはC₁の値を1/2にする，といった組み合わせでシミュレーションするため，「.param」の中で，table関数を次のように使用しています．

.param C=table(x，1，252p，2，126p，3，504p)
.param L=table(x，1，100u，2，200u，3，50u)

　このように記載すると，xの値が1のときは「C=252p，L=100u」で，Xの値が2のときは「C=126p，L=200u」となり，Xの値が3のときは，「C=504p，L=50u」となります．そして，「.step」コマンドでxを1から3まで変化させて，シミュレーションを行います
　図7が図6のL₁とC₁の値を変化させたときのシミュレーション結果です．