直列接続と並列接続の合成抵抗値を理解する

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■問題
使用するコマンド ― .TF／.DC

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，24本の抵抗を格子状に接続した回路です．抵抗値は，全て100Ωです．この回路の端子1と端子2の間の抵抗値として正しいのは(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　24本の抵抗を格子状に接続した回路
端子1と端子2の間の抵抗値は何Ω？

(a) 75Ω　(b) 100Ω　(c) 150Ω　(d) 300Ω

■ヒント

　直列接続された抵抗の合成値は「それぞれの抵抗値の和」になります．並列接続された抵抗の合成値は「それぞれの抵抗値の逆数を合計した値の逆数」となります．図1の場合，回路図をよく眺めて，パズルを解く感覚で，小さなブロックに分けて考えることで，比較的簡単に抵抗値を計算することができます．

■解答

(a) 75Ω

　図1の回路は，左右対称の形なので，まず，図2のように図の中心で左右に2分割して考えます．さらに，分割した回路も左右対称となっているので，これも左右に2分割して考えます．すると，回路が4分割されるので，その一番左側の回路の抵抗値を求めます．
　R₃とR₇が直列に接続されているため合成抵抗は200Ωとなり，R₄とR₈も直列に接続されているので，合成抵抗値は同じく200Ωとなります．この二つの合成抵抗が並列接続されていることになるので，その合成抵抗は100Ωとなります．
　R₃，R₄，R₇，R₈の合成抵抗100Ωと，R₁，R₁₁が直列に接続されているため，このブロックの合成抵抗は300Ωになります．回路全体は，300Ωのブロックが4つ並列接続されていることになります．なので，合成抵抗値は「1/300Ω+1/300Ω+1/300Ω+1/300Ω=4/300Ω」の逆数となるので75Ωとなります．

図2　抵抗を格子状に接続した回路の合成抵抗の求め方
同じ回路が4つ並列接続されていると考えることができる．

■解説

●抵抗を格子状に接続した回路パズルの解き方
　図1のような回路は，回路図の対称性に着目して考えると，分かりやすくなります．図1の回路は，左右対称な形となっています．そのため，まず，回路を図の中心で2分割して考えます．左右の回路は，同じ回路なので，図3の下のA点とB点の電圧が同じになります．そのため，A点とB点を配線でつないでも，解放しても動作は変わりません．合成抵抗を計算するときは，分割して，考えた方が分かりやすいので，図3の下のように分割して考えます．

図3　まず回路を2分割して考える
A点とB点の電圧は同じため，配線の有無で動作は変わらない．

　次に図3で2分割した回路をさらに2分割して考えます．この回路も左右対称になっているため，A点とB点の電圧は同じになり，配線でつないでも，解放しても動作は変わりません．そのため，図4の右のように分割して考えます．

図4　さらに2分割して考える
この回路の場合も，A点とB点の電圧は同じため，配線の有無で動作は変わらない．

　このように回路を分割すると，図1の回路は図5のように，4つの同じ回路に分割されます．ここで，一番左側の回路の合成抵抗を計算します．

図5　図1の回路と等価な回路
4つの同じ回路が並列接続されていると考えることができる．

　R₃とR₇およびR₄とR₈が直列接続され，さらに，それぞれが並列に接続されているため，合成抵抗値(R_A)は式1のように100Ωになります．

・・・・・・・・・・(1)

　そして，左側ブロックの合成抵抗値RBは式2のように300Ωになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　この抵抗が4つ並列になっているので，端子1，端子2間の合成抵抗値RCは式3のように75Ωになります．

・・・・・・・・・(3)

●「.TFコマンド」を使用して合成抵抗値を確認する
　LTspiceで抵抗値を確認する方法はいろいろありますが，ここでは，「.TFコマンド」を使用して合成抵抗値を求めてみます．図6が「.TFコマンド」を使用して合成抵抗値を確認するための回路です．
　45度傾いた抵抗のシンボルを作成し，使用しています．また，ななめ配線も使用していますが，LTspiceでは，Ctrlキーを押したまま配線することで，自由な角度の配線を行うことができます．
　「.TFコマンド」は小信号伝達関数を求めるためのコマンドですが，信号源からみた抵抗成分を表示することができます．書式は「.TF　出力指定信号源名」となります．今回，入力インピーダンスを求めたいので，出力は，何でもよいのですが「.TF I(V1) V1」として，信号源(V₁)の電流を指定しています．

図6　「.TFコマンド」を使用して合成抵抗値を確認するための回路
「.TFコマンド」の出力指定は信号源(V₁)の電流を指定している．

　図6の回路のシミュレーションを実行すると，図7のような結果が表示されます．この結果から，合成抵抗の値が75Ωとなっていることがわかります．

図7　「.TFコマンド」のシミュレーション結果
入力抵抗が75Ωとなっていることが分かる．

●回路図上に合成抵抗値を表示する方法
　「.TFコマンド」を実行すると，同時に直流動作点解析も行われます．この直流動作点解析の結果を利用して，回路図上に合成抵抗の値を表示させることもできます．合成抵抗の値は，端子1の電圧を，端子1に流れ込む電流で割ることで求められます．シミュレーション終了後，配線をダブル・クリックすることで，そのノード電圧を回路図上に表示することができます．
　次に，表示されたラベルを右クリックし，図8の左のように，合成抵抗を求める計算式「round(V(端子1)/(-I(V1)))」を入力します．すると，図8の右のように回路図上に合成抵抗の値を表示することができます．なお，数式中のround()は，小数点以下で四捨五入して，表示を見やすくします．

図8　回路図上に合成抵抗値を表示する方法
動作点表示用ラベルに合成抵抗を求める計算式を入力する．

●「.DCコマンド」を使用して合成抵抗値を確認する
　次に「.DCコマンド」を使用して合成抵抗値を確認してみます．回路は，図6と同じで，ドット・コマンドを「.DC V1 10m 1 10m]に変更します．これはV₁の値を10mVから1Vまで10mVステップで変化させて動作点を解析する，という意味になります．
　図9が「.DCコマンド」のシミュレーション結果です．V₁の電流と，V₁の値をV₁の電流で割って，入力抵抗を計算した結果を表示しています．なお，電圧源の電流は符号がマイナスとなって表示されるため，先頭にマイナスをつけて符号を反転しています．「.DCコマンド」のシミュレーション結果からも，合成抵抗値が75Ωであることがわかります．

図9　「.DCコマンド」のシミュレーション結果
V₁の値をV₁の電流で割って，入力抵抗を計算している．

　以上，合成抵抗の計算のテクニックとシュミレーション方法について解説しました．なお，コンデンサやコイルのインピーダンスは「.ACコマンド」を使用して求めることができます．「.ACコマンド」での，コンデンサやコイルのインピーダンスの求め方は，別の回で予定しています．

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice7_001.zip

●データ・ファイル内容
R_grid_TF.asc：図6の回路
R_grid_TF_OP.asc：図8の回路
R_grid_DC.asc：図9をシミュレーションするための回路
R_grid_DC.plt：図6のグラフを描画するためのPlot settinngsファイル
res_dgl.asy：45度傾いた抵抗のシンボル