コイルの直列接続と並列接続

■問題
電気回路 ― 基礎

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，3つのコイル(L₁，L₂，L₃)に電圧源(V₁)が接続された回路です．L₁に，並列接続されたL₂とL₃が直列接続されています．この回路で0VだったV₁の電圧を1ns後に1Vになるよう，ステップ状に変化させたとき，1ms後にL₁に流れている電流として，最も近いのは(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　3つのコイルに電圧源が接続された回路
V₁の初期値は0Vとなっており，初期状態ではL₁～L₃のコイルには電流が流れていません．また，それぞれのコイルの，直列抵抗成分は無視できるものとします．

(a)91mA　(b)154mA　(c)250mA　(d)500mA

■ヒント

　インダクタンスがLのコイルにVという電圧を印加したときの，t秒後の電流は「I=(V/L)*t」で計算できます．並列および直列接続された，コイルL₁～L₃の合成インダクタンスが分かれば，1ms後のL₁の電流も簡単に計算できます．

■解答

(c)250mA

　この回路は，L₂とL₃が並列接続され，その合成インダクタンスとL₁が直列接続されていると考えることができます．したがって3つのコイルの合成インダクタンスは「L₁+(1/(1/L₂+1/L₃))」で計算することができます．図1の数値を代入すると合成インダクタンスは「2m+(1/(1/3m+1/6m)=4m」となります．
　インダクタンスがLのコイルにVという電圧を印加したときの，t秒後の電流の式「I=(V/L)*t」に数値を代入すると「(1/4m)*1m=0.25A」となります．したがって正解はDの250mAということになります．

■解説

●コイルを直列接続したときの合成インダクタンス
　コイルを直列に接続した場合，その合成インダクタンスは，それぞれのコイルのインダクタンスを足したものになります．図2は，合成インダクタンスを計算するための回路です．直列接続されたコイルに，一定の割合で変化する電流を加えます．

図2　コイル直列接続の合成インダクタンスを計算するための回路
直列接続されたコイルに一定の割合で変化する電流を加える．

　電流の変化率をΔI/Δtとすると，インダクタンス(L)に発生する電圧(V)は式1で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　図2のL₁，L₂には同じ電流が流れます．そのため，それぞれのインダクタンスの値をL₁，L₂とすると，A点の電圧は式2で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　ΔI/Δtという電流を流したときのA点の電圧が式2となることから，合成インダクタンスをLとすると，式3が成立します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3の両辺をΔI/Δで割ると，式4のように合成インダクタンスを求める式が完成します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

●コイルを直列接続したときの電圧をシミュレーションする
　図3左は，1Hのコイルと2Hのコイルを直列接続したものに電流源を接続し，図3右は，1Hと2Hを足した値である3Hのコイルに電流源を接続しています．2つの電流源は共に1秒間に1A電流が増加するように設定しています．

図3　コイルを直列接続したときの電圧をシミュレーションする回路
1秒間に1A増加する電流を加えたときのA点，B点の電圧を比較する．

　図4は，図3のシミュレーション結果です．1Hと2Hのコイルを直列接続したA点と，3HのコイルのB点の電圧は全く同じ3Vとなっており，両者のインダクタンスが等しいことが分かります．

図4　コイルを直列接続したときの電圧のシミュレーション結果
1Hと2Hのコイルを直列接続したものと3Hのコイルの電圧は全く同じ．

●コイルを並列接続したときの合成インダクタンス
　図5は，コイルを並列接続したときの合成インダクタンスを計算するための回路です．

図5　コイル並列接続の合成インダクタンスを計算するための回路
並列接続されたコイルにステップ状の電圧を加える．

　コイル(L)にステップ状に変化する電圧(V)を加えたときの，時間ｔにおけるコイルの電流をI(t)とすると，I(t)は式5になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5より，図5のI₃は式6で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　L₁，L₂の並列インダクタンスをLとすると，式7が成立します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式7の両辺をV*tで割り，それぞれ逆数を取ると，式8のように，コイルを並列接続したときの合成インダクタンスを求める式が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

●コイルを並列接続したときの電流をLTspiceで確認する
　図6左は，3Hのコイルと6Hのコイルを並列続し，そこに電圧源を接続しています．図6右は，左の回路の2つのコイルの合成インダクタンスの値(1/(1/3+1/6)=2H)としたコイルに電圧源を接続しています．どちらの電圧源も初期値は0Vで1ns後に1Vになるように設定しています．

図6　並列接続されたコイルに流れる電流をシミュレーションする回路
V₁，V₂をステップ状に変化させたときに流れる電流を比較する．

　図7は，図6のシミュレーション結果です．V₁とV₂の電流は-を付けて符号を反転して表示しています．3Hのコイルと6Hのコイルを並列接続したものと，2Hのコイルに流れる電流はまったく同じ傾きとなっており，両者が等価であることが分かります．

図7　図6のシミュレーション結果
3Hと6Hのコイルを並列接続したものと，2Hのコイルに流れる電流は同じ．

●並列接続と直列接続を組み合わせたときの電流をシミュレーションする
　図1の回路は，並列接続と直列接続を組み合わせたものです．そのため，この回路の合成インダクタンスは，式4と式8を組み合わせ，式9のようにして4mHと計算することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式5にこの数値を代入すると，1ms後の電流は式10のように250mAと計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　図8は，図1の回路をシミュレーションするための回路です．コイルを並列接続と直列接続の組み合わせた回路です．