コンデンサの交流での特性

■問題
電気回路 ― 基礎

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，抵抗(R₁)とコンデンサ(C₁)を使った回路です．入力電圧(v_i)は，交流の正弦波です．コンデンサの交流の抵抗値に相当するインピーダンスはZ_Cとします．図1において，入力の周波数が低い周波数から高い周波数となったとき，出力電圧(v_o)の説明として，正しいのは(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　抵抗とコンデンサを使った回路
低い周波数は1/C₁R₁より十分低い状態，高い周波数は1/C₁R₁より十分高い状態．

(a)低い周波数で出力電圧は小さくなる
(b)高い周波数で出力電圧は小さくなる
(c)全周波数で出力電圧は入力電圧の1/√2になる
(d)全周波数で出力電圧は入力電圧の1/2になる

■ヒント

　コンデンサの交流的な抵抗分をインピーダンス(Z_C)と呼びます．インピーダンス(Z_C)は，周波数が低くなれば電流が流れにくくなり，周波数が高くなれば電流が流れやすくなると考えれば分かります．

■解答

(b)高い周波数で出力は小さくなる

　図2は，図1の電流や電圧の向きなどを解説する図です．コンデンサに電圧を印加すると，1つの電極に電子が集まってマイナスの電荷-qとなり，もう1つの電極には電子が少なくなってプラスの電荷+qとなります．交流電圧を印加するので，+qと-qの状態が入れ替わり，充放電を繰り返すことから交流電流を通す動作となります．

図2　図1の電流や電圧の向きなどを解説する図

　低い周波数では，一定の時間で充放電を繰り返す回数が少なくなるので，交流的な抵抗分は大きくなります．一方，高い周波数では一定の時間で充放電を繰り返す回数が多くなるので，コンデンサの交流的な抵抗分は小さくなります．この動作により，コンデンサの交流的な抵抗分は周波数により変わります．
　図2において，低い周波数ではコンデンサのインピーダンスが大きくなり，電流が流れにくくなり，出力電圧は入力電圧に近づきます．一方，高い周波数ではコンデンサのインピーダンスが小さくなり，電流が流れやすくなると，0Vに近い電圧となります．
　このため，コンデンサのインピーダンスは，周波数により変わることから(c),(d)ではありません．残りの(a),(b)は上述の解説より，解答は(b)の高い周波数で出力電圧は小さくなります．

■解説

●出力電圧を計算で確かめる
　解答では，コンデンサの特性から答を求めました．ここでは，計算から，図2の解説をします．正弦波の交流電圧や交流電流が回路へ印加されたとき，直流と同様にオームの法則が使えます．図1で抵抗(R₁)とコンデンサのインピーダンス(Z_C)に流れる電流(i₁)は同じなので，出力電圧(v_o)が求められ，R₁の電流は，式1となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　Z_Cの電流は，R₁の電流と等しくなります．なので，v_oは式2となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2へ式1を代入すると，v_oは式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3を整理し，ゲインで表すと式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4を使い，低い周波数と高い周波数のときの出力電圧と入力電圧の比を考えてみます．低い周波数のとき，Z_Cが大きくなると，式4の比は1に近づきます．よって，低い周波数の出力電圧は,入力電圧(v_i)に近づきます．一方，高い周波数のとき，Z_Cが小さくなると，式4の比は0に近づき，出力電圧は0Vに近づくことが分かります．

●インピーダンス変化をLTspiceで確認する
　ここでは，コンデンサの交流的な抵抗分の周波数による変化を図3の交流電流源(i₁)を接続した回路で調べます．電流源は両端の電圧に関係なく一定の電流を供給します．よって,交流電流を与えたノードの電圧変化から,交流の抵抗分を計算できます．これはインピーダンスを調べるときによく使う手法です．シミュレーションはAC解析を用います．「.ac oct 10 1 1meg」の指定は，1Hz～1MHz間を，2倍の周波数あたり10ポイントの間隔で，周波数を変化させ，それに対応する出力のようすを調べる解析となります．

図3　コンデンサの交流的な抵抗分をシミュレーションする回路

　シミュレーションが終了し，Vc端子をプロットすると，デフォルトではデシベル表示となります．これを抵抗値で表示させるため，プロット・ウィンドウの縦軸にマウスのカーソルを合わせ，右クリックすると図4のウィンドウが現れます．ここで縦軸を「Linear」へ変更します．

図4　縦軸の表示を変える．

　図5は，図3のシミュレーション結果です．このようにコンデンサの交流的な抵抗分は，低い周波数での抵抗分が高く，高い周波数で抵抗分が低くなることが分かります．

図5　図3のシミュレーション結果
低い周波数での抵抗分が高く，高い周波数で抵抗分が低くなる．

●周波数による出力電圧変化をLTspiceで確認する
　図6は，図1をシミュレーションする回路で，R₁=16kΩ，C₁=0.01μFとしました．シミュレーションはAC解析を行い，v_oまでのゲイン周波数特性を調べます．

図6　図1を具体的な抵抗とコンデンサの値を使いシミュレーションする回路
R₁=16kΩ，C₁=0.01μFとした．

　図7は，図6のシミュレーション結果です．このプロットの縦軸がゲインなので，式4の解説と同じで，コンデンサのインピーダンスは，低い周波数で高くなり，ゲインが0dBに近づくため，v_oの電圧がv_iに近づきます．
　一方，高い周波数で，コンデンサのインピーダンスは，低くなり，ゲインも低くなって，v_oの電圧が0Vに近づきます．このようにシミュレーションでも周波数によるv_oの変化が確認できました．