キルヒホッフの法則と抵抗分圧

■問題
電気回路 ― 基礎

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，抵抗（R₁，R₂，R₃，R₄）と電流源（I₁）を使った回路です．「R₁，R₂=50Ω」，「R₃．R₄=100Ω」，「I₁=1mA」とするとV₃の電圧は40mVになります．この図1において，(a)～(d)の方程式で1つ間違えているものがあります．間違えているものはどれでしょうか．

図1　抵抗と電流源を使った回路
「R₁，R₂=50Ω」，「R₃．R₄=100Ω」，「I₁=1mA」とするとV₃の電圧は40mV

(a)　(V₁-V₂)/50-0.001=0
(b)　(V₂-V₁)/50+(V₂-V₃)/50+V₂/100=0
(c)　(V₃-V₂)/50+V₃/100=0
(d)　V₂=(100/150)V₃

■ヒント

　回路の電圧や電流を調べるとき，オームの法則やキルヒホッフの法則，抵抗分圧を使った回路方程式を用いて回路内の電流や電圧を表します．オームの法則とキルヒホッフの法則で，1，2，3の各接点に流れ込む電流の総和はゼロになります．また，抵抗の分圧回路はV₂とV₃の関係を示します．これらを詳しく調べると，どれが間違えているか分かります．

■解答

(d)　V₂=(100/150)V₃

　(a)が1，(b)が2，(c)が3の各ノードに流れ込む電流の総和がゼロであることをオームの法則とキルヒホッフの法則で正しく示しています．(d)は，V₂とV₃の抵抗分圧の関係を示していますが，正しくは「V₂=(150/100)V₃」なので，(d)が間違いとなります．

■解説

●キルヒホッフの法則
　電気回路の電流と電圧を調べるとき，オームの法則やキルヒホッフの法則を使い，回路方程式を導きます．図2を用い，キルヒホッフの電流則と電圧則を解説すると，キルヒホッフの電流則は「回路内のある1つのノードに流れ込む電流の総和はゼロである」です．また，電圧則は「回路内の閉路において枝電圧の総和はゼロである」となります．回路方程式は，回路内の電圧や電流，その方向を表し，これらを使って回路解析を行います．なお，これ以降，キルヒホッフの電流則を「KCL」，キルヒホッフの電圧則を「KVL」と記述します．

図2　キルヒホッフの電流則と電圧則

●回路方程式を使って値を求める
　まず，図1の1，2，3の各ノードの電流とV₂，V₃の電圧の関係について検討します．次に，検討した方程式を用いてV₃の電圧の値を求め，求めた値とシミュレーションの値が一致すれば，回路方程式は正しいことになります．
　1のノードの電流は，0から1へ電流源(I₁)が流れ込み，さらに1から2へ向かって流れ出します．この電流は等しいので，KCLより式1となります．これが問題の(a)です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　2のノードの電流は，1から2へ流れ込む電流と，2から0と2から3へ流れ出す電流であり，KCLより式2となります．これが問題の(b)です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　3のノードの電流は，2から3へ流れ込む電流と，3から0へ向かって流れ出す電流ですので，KCLより式3となります．これが問題の(c)です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　2のノードの電圧をV₂，また3のノードの電圧をV₃とすれば，V₃はV₂の電圧を抵抗R₂とR₄で分圧した値となります．よって，V₂の電圧は式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式2は，回路全体の電流の流れを示しており，この式を使ってV₃の電圧を求めます．式2の左辺第1項に式1を代入し，式2の第2項に式3を代入し，第3項に式4を代入すれば，式5となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5よりV₃の電圧は，式6の40mVとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

●LTspiceを使って値を求める
　図3は，図1をシミュレーションする回路です．電流源（I₁）を0A～2mAの間で100μAのステップでスイープさせるコマンドとして「.dc I1 0 2m 100u」を入れました.「.meas DC res3 V(3) at=1m」は，I₁が1mAのときのV(3)の電圧を変数res3に記録します.