バッファ付き位相シフト発振回路の発振条件

■問題
アナログ回路 ― 中級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，バッファ付き位相シフト発振回路です．R₁，R₂，U₁で正帰還ループの反転アンプ構成し，U₂とU₃のOPアンプで，ゲインが1倍のユニティ・ゲイン・バッファ回路を構成しています．正帰還ループで，図1の回路を発振させる反転アンプのゲインは，(a)～(d)のどれでしょうか．なお，回路内のR₃，R₄，R₅は同じ抵抗値，C₁，C₂，C₃は同じ容量値，OPアンプは理想とします．

図1　バッファ付き位相シフト発振回路
発振させるためには，反転アンプのゲインはいくらか．

(a)-1倍　(b)-3倍　(c)-4倍　(d)-8倍

■ヒント

　正帰還を使った発振回路は，正帰還ループの1カ所を切断したとき，切断箇所から回路を一巡して戻ってくる信号が，「同じ振幅」で「位相差が無い」ことが発振条件となります．位相差が無い条件は，位相差360°でも同意です．図1において，位相差360°の内訳は，反転アンプで180°位相が変わり，「R₃=R₄=R₅とC₁=C₂=C₃」の条件より，残り180°を三等分して，1つのCR積分回路で60°の位相差となります．このときのCR積分回路で減衰するゲインを，反転アンプのゲインで補い，正帰還のループ・ゲインを1にします．

■解答

(d)-8倍

　正帰還を利用した発振回路は，発振する条件として，正帰還ループの「ループ・ゲイン=1」，「位相差=360°」が必要です．図1のバッファ付き位相シフト発振回路は，正帰還ループの位相に着目すると，反転アンプで180°の位相差，1つの1次CR積分回路で60°の位相差ですので，三つ通過することにより180°の位相差となって，全体で360°の位相差になります．
　次に，ループ・ゲインに着目します．図2は，図1の1つの1次CR積分回路を抜き出して，その周波数特性を調べた結果です．1次CR積分回路の位相が-60°になるときのゲインを調べると，「-6dB=1/2倍」となります．この1次CR積分回路を3つ通過した後のゲインは「(1/2)³=1/8」です．よって「ループ・ゲイン=1」とするには，反転アンプで8倍のゲインが必要となり，解答の(d)となります．

図2　1次CR積分回路の周波数特性
-60°の位相遅れのとき，ゲインは-6dBとなる．

■解説

●発振周波数と反転アンプに必要なゲインの導出
　図3は，図1の「R₃=R₄=R₅=R」，「C₁=C₂=C₃=C」としたブロック図です．ゲインが1倍のバッファは，1次CR積分回路の負荷が，OPアンプの高い入力インピーダンスのみにするために使われています．この図を用いて，発振周波数と発振に必要な反転アンプのゲイン(G)を求めます．

図3　バッファ付き位相シフト発振回路のブロック図
3つの抵抗と3つのコンデンサは同じ値．

　まず，発振周波数を求めます．発振させるための条件「ループ・ゲイン＝1」より，図3から式1が求まります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1のラプラス演算子（s）を「s=jω」とし，整理すると式2となります．

・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2の分母中の複素数の項をゼロにするには，式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3より，発振時の角周波数をω0とすれば，式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4より，「ω=2πf」とすれば，発振周波数は式5となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　次に，発振させるための反転アンプのゲインを求めます．式4を式2へ代入すれば，式6となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6より，反転アンプのゲイン（G）は式7となり，解答の(d)となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

●発振周波数における1次CR積分回路のゲインと位相
　図3にある3つの1次CR積分回路のうち，1つの積分回路について，発振周波数におけるゲインと位相が図2となるか計算で確認します．1次CR積分回路の伝達関数は，式8となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　式8へ式4の発振周波数を代入すると，式9となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式9のゲインを求めると，式10となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　式9の位相を求めると，式11となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　式10，式11より，発振しているときの1次CR積分回路は，「ゲイン=1/2」で，「位相差=-60°」であり，図2の関係であることが，計算でも確かめました．

●LTspiceでバッファ付き位相シフト発振回路を確認する
　図4は，図1のOPアンプを，CMOSのクワッドOPアンプ（1つのパッケージに4つのOPアンプが封入されている）を使い，OUT端子に出力バッファを加えた回路です．1次CR積分回路の定数は「R₃=R₄=R₅=10kΩ」，「C₁=C₂=C₃=0.01μF」です．また，反転アンプのゲインは，OPアンプが理想であれば，式7の8倍のゲインですが，実際は理想ではないため，ここでは「-R₂/R₁=-9倍」としました．式5を用いると，図4の発振周波数は「f₀=2.76kHz」となります．シミュレーションは，0s～110ms間を過渡解析し，OUT端子の波形をプロットします．