OPアンプに小信号を入力した時の立上り時間

■問題
アナログ回路 ― 中級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，R₁とR₂の抵抗比で直流の信号ゲインが20dB，コーナ周波数が92kHzの非反転アンプです．コーナ周波数より高い周波数帯では，-20dB/decの傾きでゲインは減衰します．この回路に，振幅が±5mV，周期が200μs，デューティ比が50%の小信号な矩形波を入力したときの立上り時間は，(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　直流ゲインが20dB，コーナ周波数が92kHzの非反転アンプ
入力に±5mVの矩形波を入力したとき，出力の立上がり時間はいくらか．

(a)3.6μs　(b)3.8μs　(c)22.6μs　(d)23.4μs

■ヒント

　OPアンプに小信号(内部回路が飽和しない)の矩形波を入力したとき，出力信号の過渡応答はアンプの周波数特性に依存します．その立上り時間は，振幅が10%から90%へ変化したときの時間であり，コーナ周波数で決まる時定数に関係します．

■解答

(b)3.8μs

　図1の非反転アンプは，コーナ周波数から高い周波数帯では-20dB/decの傾きで減衰する1次遅れ系の周波数応答です．1次遅れ系の過渡応答で，振幅が10%から90%へ変化したときの立上り時間は式1であり，コーナ周波数を92kHzとすると，立上り時間は3.8μsとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

■解説

●小信号周波数応答と小信号過渡応答の関係
　OPアンプの内部回路が飽和するような大信号の過渡応答は，スルーレートによって制限を受けます．しかし，内部回路が飽和しない小信号の過渡応答は，小信号周波数応答によって決まります．
　図2の(a)と(b)は小信号周波数応答と小信号過渡応答の関係を示す図です．

図2　(a)アンプの小信号周波数応答　(b)アンプの小信号過渡応答
(b)の立上り時間と立下り時間は，(a)のコーナ周波数に関係する．

　多くのOPアンプは，ゲインが1倍のボルテージ・フォロア回路で負帰還が発振しないように設計されています．これは，OPアンプの周波数特性が1次遅れ系の周波数特性とすることで実現されます．また，オープン・ループ・ゲインは，-20dB/decの傾きで減衰します．これらのOPアンプに抵抗で負帰還をすると，図2の(a)のように，コーナ周波数（f_c）より高い周波数帯では-20dB/decで減衰する1次遅れ系の周波数応答となり，そのコーナ周波数から定まる時定数（τ）は式2となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　図2の(a)の周波数特性を持つアンプへ矩形波を入力すると，出力の立上りと立下がりの応答は，時定数（τ）の影響を受けて，図2の(b)になります．このときの時間の変化に対する立上りの応答は，波高値をVとすると，式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　また，立下がりの応答は式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

●立上り時間とコーナ周波数の関係
　立上り時間（t_r）は，出力の振幅が10%から90％へ変化するときの時間であり，式2と式3を使い、その関係が導けます．出力電圧が10%のときの時間をt₁とすると，式3は式5となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5を整理すると，式6となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6の両辺の自然対数をとり，出力電圧が10%のときの時間（t₁）を調べると式7となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　同様の方法で，出力電圧が90%のときの時間（t₂）は式8となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　立上り時間（t_r）は，t₂とt₁の差の時間ですので，式9となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式9へ式2の時定数を使うと，立上り時間（t_r）は，式10となり，式1の関係が導けます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　また，立下がり時間についても，式4を使い上記と同じ方法で調べると式11となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　式10を使い，図1の立上り時間を計算したものが，解答の式1となります．このように，小信号周波数応答のコーナ周波数がわかれば，矩形波を入力したときの立上り時間，立ち下がり時間を計算で予測できます．