負帰還回路で発生するゲインの誤差

■問題
アナログ回路 ― 中級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，理想の信号ゲインが10倍の非反転アンプです．OPアンプのオープン・ループ・ゲイン周波数特性は，直流ゲインが100dB，1st pole周波数が10Hz，それ以降の高周波側では-20dB/decの傾きで減衰します．また，その他のOPアンプの特性は理想とします．図1において，信号周波数が10kHzのとき，R₁とR₂の抵抗比「1+R₂/R₁=10」で決まる理想の信号ゲインからの誤差は，次の(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　ゲインが10倍の非反転アンプ
OPアンプの直流ゲインは100dB，1st pole周波数は10Hzの特性．

(a) -0.005%　(b) -0.5%　(c) -1%　(d) -9%

■ヒント

　図1の非反転アンプは，負帰還回路のループ・ゲインが有限値であることから，R₁とR₂の抵抗比で決まる理想ゲインから誤差を生じます．ループ・ゲインは，オープン・ループ・ゲインと帰還率の積です．よって，オープン・ループ・ゲインが周波数特性を持つことから，ループ・ゲインも周波数により値が違います．図1の10kHz時のループ・ゲインを調べ，負帰還回路の信号ゲインに与える影響を調べると分かります．

■解答

(b) -0.5%

　OPアンプのオープン・ループ・ゲインをA(s)，帰還率をβとすれば，非反転アンプのループ・ゲイン「A(s)β」を考慮した信号ゲインは式1となります．「1+R₂/R₁」が抵抗比で決まる理想の信号ゲイン，「A(s)β」を含む項が誤差項になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　OPアンプのオープン・ループ・ゲインは，式2となります．ただし，A_oは，オープン・ループ・ゲインの直流ゲイン，τ₁は，1st pole周波数(f_p1)の時定数であり「τ₁=1/2πf_p1」です．また，sはラプラス演算子で「s=jω」となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2を「τ₁=1/2πf_p1」，「s=jω」，「ω=2πf」を使って整理すると式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　帰還率βは，式4となり，抵抗性ですので周波数に関係なく一定値となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式1へ式3と式4を代入し，理想の信号ゲインからの誤差を計算します．「1<<1/A(jf)β」となれば，理想の信号ゲインに近づきます．図1の信号ゲインを求めるため，具体的な値「A_o=100dB=10⁵」，「β=1/10」，「f_p1=10Hz」，「f=10kHz」を使い，複素数を含む式の絶対値を計算すると式5となります．よって,10kHzの周波数における信号ゲインの誤差は，理想の信号ゲインである10倍から-0.5%となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

■解説

●ループ・ゲインを考慮した非反転アンプのゲイン
　図1の非反転アンプについて，オープン・ループ・ゲイン(A_o)と帰還率(β)を考慮した信号ゲインを求めます．反転端子の電圧をv’とすれば，出力電圧と帰還率より式6となります．ここで，帰還率(β)は，抵抗性なので周波数特性を持ちません．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　出力端子の電圧は，OPアンプの2つの入力端子間の電圧差を，オープン・ループ・ゲイン倍した電圧なので，式7となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式6と式7を使い，入力から出力までの伝達関数を求めると，解答の式1となります．式1より，非反転アンプの信号ゲインは，R₁とR₂の抵抗比で決まる理想ゲインに，ループ・ゲイン「A(s)β」が関係する誤差項で表されるのが分かります．式1のように，R₁とR₂の抵抗比でゲインを決めても，ループ・ゲインA(s)βが有限値のため，抵抗比で決まる理想ゲインから誤差を生じます．

●ループ・ゲインの周波数依存
　図2は，ループ・ゲインの周波数依存を示すボード線図です．図1の非反転アンプの場合，ノイズ・ゲインは信号ゲインと等しくなります．ループ・ゲインをデシベルで表すと，オープン・ループ・ゲインとノイズ・ゲインの差となります．オープン・ループ・ゲインは，周波数特性を持つことから，ループ・ゲインも周波数により値が変わり，高い周波数になるほどループ・ゲインは小さくなります．このため，信号ゲインも高い周波数になるほど，理想の信号ゲインからの誤差が大きくなります．

図2　ループ・ゲインの周波数依存を示したボード線図

　図1の非反転アンプにおいて，周波数10kHzのときの信号ゲインを調べたのが解答の計算であり，理想の信号ゲインから-0.5%となります．また，ボード線図のオープン・ループ・ゲインとノイズ・ゲインが交わる100kHzの周波数が，信号ゲインのコーナ周波数(f_c)です．この周波数の誤差を求めると式8となり，理想の信号ゲインから1/√2倍ですので，デシベルに直すと-3dBとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

●信号ゲインの誤差をLTspiceで確認
　図3(a)は，信号ゲインの誤差をシミュレーションする回路です．また，図3(b)は，OPアンプのオープン・ループ・ゲインを調べる回路です．

図3　図1をシミュレーションする回路
(a) 信号ゲイン，(b) オープン・ループ・ゲイン

　OPアンプは理想素子を使ったマクロモデルで，オープン・ループ・ゲインはA_oの変数，1st poleはf_p1の変数を使い，「.paramステートメント」で与えています．シミュレーションは，1Hz～10MHzをAC解析します．

　図4は，図3のシミュレーション結果です．上段は縦軸がデシベルで表した信号ゲインとオープン・ループ・ゲインの周波数特性，下段は縦軸を倍率で表した信号ゲインの周波数特性です．上段のオープン・ループ・ゲインと信号ゲインの関係は，図2のボード線図と同じになることが分かります．また，下段に示す信号ゲインの10kHzの増幅率は9.95倍であり，式5と一致します．これは抵抗比で決まる理想の信号ゲインから，-0.5%の誤差となります．