水晶振動子を使用した発振回路

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■問題
アナログ回路 ― 中級

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，水晶振動子とCMOSインバータを使用した発振回路です．この回路に使用している水晶振動子(Xtal)の等価回路として適切なものは，図2の(A)～(D)のどれでしょうか．

図1　水晶振動子とCMOSインバータを使用した発振回路
インバータの入力と出力間に水晶振動子が接続されている．

図2　水晶振動子の等価回路
水晶振動子の等価回路として適切なものはどれ？

■ヒント

　水晶振動子のインピーダンスの周波数特性には，インピーダンスが小さくなる共振周波数とインピーダンスが大きくなる反共振周波数があります．この2つの共振特性を表現している等価回路はどれか？ということを考えれば，答えがわかります．

■解答

(A)

　(A)は，C₂とL₁が直列共振回路を構成し，L₁とC₁，C₂が並列共振回路を構成しています．そのため，直列共振周波数ではインピーダンスが小さくなり，並列共振周波数ではインピーダンスが大きくなります．(B)と(C)は，直列共振回路しか存在しません．また，(D)は，並列共振回路しか存在しません．水晶振動子のインピーダンスの周波数特性には，インピーダンスが小さくなる共振周波数とインピーダンスが大きくなる反共振周波数が必要となるため，正解は，(A)ということになります．

■解説

●水晶振動子のインピーダンス特性を調べる
　図3は，水晶振動子の等価回路のインピーダンス特性をシミュレーションするための回路です．

図3　水晶振動子のインピーダンス特性をシミュレーションするための回路
電流源I₁のAC　Amplitudeを１とし，Z端子の電圧を観察する．

　この等価回路において，直列共振周波数(f_S)は，L₁とC₂で決まり式1で表されます．

・・・・・・・・・・・・(1)

　また，並列共振周波数(f_P)は，L₁とC₁,C₂の直列容量値で決まり，式2で表されます．

・・・・・(2)

　C₁に比べてC₂がかなり小さいため，直列容量値はC₂に近い値となります．そのため，並列共振周波数は，直列共振周波数と非常に近い値になります．図3の回路でAC解析を実施します．電流源I₁のAC　Amplitudeを１とすることで，Z端子の電圧の値がインピーダンスの値と同じになります．
　図4は，図3の水晶振動子等価回路のインピーダンス特性のシミュレーション結果です．インピーダンスが最も小さくなっているのが直列共振周波数で，3.997MHzとなっています．また，インピーダンスが最も大きくなっているのが並列共振周波数で4.003MHzです．並列共振周波数と直列共振周波数の間の位相は+90度となっており，この領域はコイルと等価です．それ以外の周波数の位相は-90度となっており，コンデンサと等価になります．

図4　水晶振動子のインピーダンスの周波数特性
直列共振点と並列共振点の二つがある．

●水晶振動子のシンボル
　LTspiceには，図5の左のような水晶振動子のシンボルが用意されています(Misc\Xtal)．

図5　LTspiceに用意されている水晶振動子のシンボル
シミュレーション上はコンデンサだが，図3の等価回路を表現できる．

　シミュレーション上は，コンデンサとして扱われますが，様々な寄生素子を追加することができるため，図3の等価回路を表現することができます．シンボルを右クリックすると，図5の右のようなウィンドウが表示されるので，等価回路の値を設定します．Capacitanceの欄にC₂の値を入れ，Series Resistanceの欄に，R₁の値を入れます．Series Inductanceの欄にはL₁の値を入れ，Parallel Capacitanceの欄にC₁の値を入れます．

●水晶振動子を使用した発振回路のループ特性
　図6は，CMOSインバータと水晶振動子を使用した発振回路のループ特性調べるための回路です．ループゲインのシミュレーションに，Middlebrook法と呼ばれる手法を使用するため，同じ回路を2種類用意し，それぞれに電圧信号源と電流信号源を加えています．この回路でシミュレーションを実行し，「((I(V3)/I(V4))*(-V(x)/V(y))-1)/((I(V3)/I(V4))+(-V(x)/V(y))+2)」をプロットすることで，ループゲインを表示することができます．

図6　水晶振動子を使用した発振回路のループ特性を調べるための回路
Middlebrook法と呼ばれる手法を使用してループ特性をシミュレーションする．

　図7は，図6でMiddlebrook法を使用してシミュレーションしたループ特性です．一般的にMiddlebrook法は，帰還をかけたOPアンプ回路の発振安定性（位相余裕）を調べるために使用されますが，ここでは発振回路が発振するかどうかという観点で使用します．位相が回転し，-180度となって正帰還になる周波数は，水晶振動子の共振周波数よりも若干高い3.9982MHzになっています．この周波数のゲインは54dB程度となっています．そのため，この回路は，この周波数で発振することがわかります．

図7　水晶振動子を使用した発振回路のループ特性
3.9982MHzで位相が-180度となっており，この周波数で発振する．

●水晶振動子を使用した発振回路の出力
　図8は，CMOSインバータと水晶振動子を使用した発振回路を実際に発振させて，出力波形を調べるための回路です．トランジェント解析を行いますが，発振のきっかけを作るために，startupオプションを追加し，電源を0Vから5Vに立ち上げるようにしています．

図8　水晶振動子を使用した発振回路を発振させて，出力波形を調べるための回路
発振のきっかけを作るために，startupオプションを追加している．

　図9は，図8の水晶振動子を使用した発振回路のシミュレーション結果です．時間軸を拡大し，最後の1usを表示したものを重ねて表示しています．電源電圧が立ち上がってもすぐに発振波形は現れず，0.6ms程度経過してから発振振幅が立ち上がっています．「.MEASコマンド」で計算した発振周波数は，エラーログに表示されますが，その結果は3.99796MHzとなっており，図7の発振周波数の結果と近い値になっています．