ジャイレータによる等価インダクタの実現

■問題
アナログ回路の基礎 ― 中級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，理想的なジャイレータを使ったインピーダンス変換回路です．v₂側にコンデンサを接続すると，v₁側からみた入力インピーダンス(z_i)は，誘導性となりインダクタ(コイル)となります．回路のGは電圧制御電流源のコンダクタンスです．図1において，v₁側からみた等価インダクタの値として正しいのは次の(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　理想ジャイレータによる等価インダクタを実現する回路
v₂側にコンデンサをつけるとv₁側からみた入力インピーダンスはインダクタにみえる．

(a) G倍したC₁　(b) G²倍したC₁　(c) 1/G倍したC₁　(d) 1/G²倍したC₁

■ヒント

　理想ジャイレータは，2つの電圧制御電流源で表すことができます．図1の左側の電流源は，v₂により制御した電流「i₁=Gv₂」が流れ，左側はv₁により制御した「i₂=-Gv₁」が流れます．これを用いてC₁を接続したときの入力インピーダンス「v₁/i₁」を求めると簡単にわかります．

■解答

(d)　1/G²倍したC₁

　図1の左側の電圧制御電流源から流れる電流は，i₁であり式1となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　同様に，図1の右側の電圧制御電流源から流れる電流は，i₂であり式2となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　v₂側にコンデンサ(C₁)を接続するとv₂の電圧は，式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　i₁の電流は，式1と式3より式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　入力インピーダンスは，式4へ式2を代入し整理すると式5となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5より，入力インピーダンスは，1/G²倍したC₁となり解答の(d)となります．

■解説

●理想ジャイレータについて
　ジャイレータは，インピーダンス変換回路として使われ，小さなコンデンサで等価的に大きなインダクタンスを得る回路トポロジです．ここでは理想ジャイレータの特性と，OPアンプでジャイレータを構成した具体例を解説します．
　理想ジャイレータは，アドミタンス(yパラメータ)で表すと図2(a)の等価回路となります．回路記号は，図2(b)を用います．

図2　理想ジャイレータ
(a) yパラメータで表した等価回路
(b) ジャイレータの記号

　図1と図2(a)を比べると「y12=G」，「y21=-G」であり，Gのことをジャイレッション・コンダクタンスと呼びます．y11とy22は1次側(v₁側)と2次側(v₂側)からみた各々のポートの入力アドミタンスであり，図1は，電流源の無限大のインピーダンスが見えます．そのため，アドミタンスは，インピーダンスの逆数ですから「y11=y22=0」となります．解答で計算した通り，ジャイレータに流れ込む1次側と2次側の電流は式1と式2なので理想ジャイレータをアドミタンス行列で表すと式6になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

●理想ジャイレータの2つの特徴
　式6の理想ジャイレータには2つの特徴があります．1つ目は，図3(a)の理想ジャイレータの2次側へ電圧を印加したとき，図3(b)のように1次側の電流は2次側の電圧で制御した電圧制御電流源となります．この関係は解答の式1に示しました．同様に，一次側に電圧を印加したときは，2次側の電流の向きが変わった電圧制御電圧源となります．

図3　理想ジャイレータに電圧を印加した回路
(a) ジャイレータの2次側に電圧を印加した回路
(b) (a)の1次側は2次側の電圧で制御した電圧制御電流源となる

　2つ目の特徴は，1次側からみた入力インピーダンスが2次側に接続したインピーダンスの逆数になります．図4を用いて解説すると，1次側からみた入力インピーダンスは，コンデンサ周波数特性の逆の特性，つまり等価インダクタになり，2次側のコンデンサの値を1/G²倍したものとなります．この関係は解答の式5で示しました．

図4　理想ジャイレータにコンデンサを接続した回路
(a)　ジャイレータの2次側にコンデンサを接続した回路
(b)　(a)の1次側からみた入力インピーダンスは，等価インダクタとなる

●入力インピーダンスをLTspiceで確認する
　図5(a)は，図1の1次側からみた，理想ジャイレータの入力インピーダンスをシミュレーションする回路です．図5(b)はインダクタ(L₁)の値を，式5で得られた「C₁/G²」で与え，図5(a)と比べます．ここで，図5(a)のジャイレッション・コンダクタンスは「G=1mA/V」，2次側のコンデンサは「C₁=0.1μF」としました．図5(b)の変数Lは，「1/G=1kΩ」ですので，「L=(0.1μF)×(1kΩ²)」とし，「.params」中で計算し与えています．この計算は100mHのインダクタに相当します．

図5　入力インピーダンスをシミュレーションする回路
(a)　図1のGを1mA/V，C₁を0.1μFとした回路
(b)　図1の計算値と同等なインダクタ

　図6は，図5のシミュレーション結果です．図5(a)の1次側からみた入力インピーダンス「v(v₁)/I(G₁)」と，図5(b)のインピーダンス「v(v₃)/I(L₁)」をプロットしました．2つのプロットは重なっており，2次側につけた0.1μFのコンデンサは，1次側からみると100mHの等価インダクタとなっていることが分かります．

図6　図5のシミュレーション結果
(a)と(b)は重なっており，計算で求めたインダクタンスが得られることが分かる．

●OPアンプを使ったジャイレータ回路
　図7は，2つのOPアンプと抵抗を使ったジャイレータです．7つの抵抗は，全て同じ抵抗値「R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R₆=R₇=R」とします．

図7　OPアンプを使ったジャイレータ回路

　図7のジャイレータに流れ込む電流(i₁，i₂)を計算し，理想ジャイレータの式6と同じになるか確かめます．図7の回路記号を用いて回路方程式をたてると次のようになります．

　i₁の電流はKCLより式7となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式7中のi_R3は式8となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　式8中のvo₁は，非反転アンプの出力ですので，式9となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式7中のi_R7は式10となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　以上を使って整理すると，i₁の電流は式11となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　次にi₂の電流は式12となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

　式12中のi_R6は式13となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13)

　式13中のvo₂は，OPアンプU₂の2つの入力端子はバーチャル・ショートなので，式14となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(14)

　式14中のi_R5はR₄に流れる電流と同じなので，式15となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(15)

　以上を使って整理すると，i₂の電流は式16になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(16)

　式11と式16より，図7に示すジャイレータのv₂側を1次側，v₁側を2次側と考えれば式6に示した理想ジャイレータの行列式と同じであり，ジャイレッション・コンダクタンスが「G=1/R」のジャイレータとして働くことが分かります．

●ジャイレータによる電圧制御電流源の検証
　図3に示したジャイレータの1つめの特徴である電圧制御電流源について，図7のジャイレータを用いて動作を確かめます．先ほど述べたとおり，図7のv₁側が2次側，R8の接続箇所が1次側となります．
　図8のジャイレッション・コンダクタンスは「G=1/1kΩ=1mA/V」です．シミュレーションはv₁を変化させたときの負荷抵抗(R8)に流れる電流を調べます．電圧制御電流源ですので，負荷抵抗の値が変化しても電流は同じにならねばなりません．これを確かめるため，R8の抵抗を「.stepコマンド」を用いて100Ω，470Ω，1kΩと変化させています．

図8　ジャイレータによる電圧制御電流源

　図9がシミュレーション結果です．負荷抵抗(R8)の抵抗を変化させても流れる電流は変わらず，式16に示したv₁の電圧で電流が変わる電圧制御電流源になることがわかります．

図9　図8のシミュレーション結果
R8からジャイレータ側へ流れ込む電流をプロット．
「G=1/1kΩ」のジャイレッション・コンダクタンスを持つ電圧制御電流源となる．

●ジャイレータによるインダクタの実現
　図4に示したジャイレータの2つめの特徴であるインピーダンス変換について確かめます．図10(a)は，図7のジャイレータを使った等価インダクタと抵抗(R8)でLR回路とし，その周波数特性をOUT1端子で調べます．ジャイレッション・コンダクタンスは「.stepコマンド」で値を1kΩ，2.2kΩ，4.7kΩと変え，等価インダクタンスで表すと100mH，484mH，2.209Hに相当します．図10(b)は理想のインダクタ(L₁)にジャイレータによる等価インダクタで求まる値を入れ，OUT1とOUT2の周波数特性を比べるのが目的です．