対数増幅回路の入出力特性

■問題
アナログ回路の基礎 ― 中級

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，OPアンプとNPNトランジスタを使用した対数増幅回路です．OP₁の反転入力端子に1kΩの抵抗R₁を介して入力電圧V_INが加えられています．OP₂の帰還抵抗R₂が15.8kΩ，R₃が1kΩになっています．また，トランジスタQ₁とQ₂の特性はまったく等しいものとします．V_INが10mVのときにOUT端子の電圧は0Vでした．V_INが100mVになったときのOUT端子の電圧は次の(A)～(D)のどれでしょうか．

図1　OPアンプとNPNトランジスタを使用した対数増幅回路
V_INが100mVのときのOUT端子の電圧は？

(A)100mV　(B)1.68V　(C)-1.68V　(D)-1V

■ヒント

　入力電圧V_INは，抵抗R₁で電流に変換され，その電流はトランジスタQ₁に流れます．トランジスタのコレクタ電流とベース・エミッタ間電圧の関係式から，オペアンプOP₂の非反転入力端子の電圧を計算し，OP₂のゲイン倍すれば答えが分かります．

　対数増幅回路とは，入力信号と出力信号が数学の対数関数の関係となっている増幅回路です．小さな信号から大きな信号まで，広いダイナミックレンジの信号を圧縮して，扱いやすくすることができます．

■解答

(D)-1V

　図1の回路で，Q₁のベース・エミッタ間電圧とQ₂のベース・エミッタ間電圧からOUT端子の電圧（V_OUT）を計算すると「V_OUT=-log(V_IN/10mV)」になります．そのため「V_IN=10mV」のとき，V_OUTは0Vとなります．また，「V_IN=100mV」の場合，V_OUTは-1Vになります．したがって正解はDということになります．

■解説

●基本的な対数増幅回路の動作
　図2は，OPアンプとトランジスタを使用した基本的な対数増幅回路です．トランジスタのコレクタ電流とベース・エミッタ間電圧が対数関係となっていることを利用しています．

図2　OPアンプとトランジスタを使用した基本的な対数増幅回路
コレクタ電流とベース・エミッタ間電圧が対数関係であることを利用している．

　トランジスタのベース・エミッタ間電圧(V_BE)は，コレクタ電流をI_Cとすると，式1のように表され，コレクタ電流の自然対数に比例します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1の中でI_Sは，逆方向飽和電流と呼ばれるもので，トランジスタの大きさなどによって決まり，大きな温度係数を持っています．またV_Tは熱電圧と呼ばれ，式2で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

ただし，k:ボルツマン定数，T:絶対温度，q:電子電荷とします．

　図2においてOPアンプが正常に動作しているときは，反転入力端子の電圧は非反転入力端子と等しくなっており，GNDと同じ電位になっています．そのため，抵抗R₁に流れる電流は，式3のようにして求めることができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　また，OPアンプの入力端子には電流が流れないため，Q₁のコレクタ電流I_CはI_R1と等しくなります．そのため，Q₁のベース・エミッタ間電圧V_BEQ1は式4のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　OUT端子の電圧はGND電位からV_BEQ1だけ下がった電圧になります．V_BEQ1はV_INの自然対数に比例するため，図2の回路は対数増幅回路として動作します．なおOPアンプが正常に動作するのはV_INが正の電圧のときだけです．

●基本的な対数増幅回路をシミュレーションする
　図3は，図2の回路でV_INを10μVから10Vまで一桁あたり50ポイント変化させたときの出力電圧（OUT端子の電圧）をシミュレーションしたもです．出力電圧は直線的に変化していますが，横軸は対数目盛となっており，出力電圧がV_INの対数に比例していることが分かります．

図3　基本的な対数増幅回路のシミュレーション結果
出力電圧がV_INの対数に比例していることが分かる．

　図2の回路ではトランジスタのベース・エミッタ間電圧がそのまま出力されます．そのため，出力電圧はV_BEの温度係数の影響を受けてしまいます．図4は，図2の回路で温度を-40℃，27℃，80℃と変化させて(Basic_logAmp_Temp.asc)，シミュレーションした結果です．温度によって出力電圧が平行移動的に変化していることが分かります．

図4　基本的な対数増幅回路の温度特性のシミュレーション結果
温度によって出力電圧が平行移動的に変化している．

●改良型対数増幅回路の動作
　図2の回路は，ベース・エミッタ間電圧がそのまま出力電圧となるため，あまり使いやすくありません．その問題を対策した回路が図5の回路です．これは，図1と同じ構成となっています．電流源I₁とトランジスタQ₂および，OP₂による増幅回路が追加されています．

図5　ベース・エミッタ間電圧が直接出力されない改良型対数増幅回路
電流源I₁とトランジスタQ₂および，OP₂による増幅回路が追加されている．

　図5でA点の電圧は図2のOUT端子と同じ電圧で，式5で求められます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　B点の電圧は，A点の電圧にQ₂のベース・エミッタ間電圧(V_BEQ2)を加算したものです．V_BEQ2は，式6で表されます．Q₁，Q₂の特性はまったく同じであるという前提のため，I_Sは同じ値になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　ベース電流を無視すると，I_C2は，電流源(I₁)と等しくなります．これを踏まえて式5および式6からB点の電圧を計算すると，式7のようにI_Sが消去されたものになります．

・・・・・(7)

　OP₂は非反転増幅回路を構成しており，そのゲインをGとします．また，「R₁I₁=V_ref」とし，式7の対数の底を10に変換すると，OUT端子の電圧V_OUTは式8になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　式8よりV_IN=V_refのときにV_OUTは0Vになることが分かります．ここで，「GV_Tln(10)=1」となるようにGの値を設定すると，式9になり，V_INがV_refの10倍になるごとに，V_OUTが1V変化するように設定できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　そのときのGの値は式10で計算することができます．

・・・・・(10)

　また，Gは式11で表され，図1および図5の定数を代入すると16.8になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　つまり，図1の回路のV_OUTは式9で表されることになります．「V_ref=R₁I₁=1k*10μ=10mV」なので，V_INが10mVのときにOUT端子の電圧が0Vとなり，V_INが100mVのときにはOUT端子の電圧が1Vになります．

●改良型対数増幅回路のシミュレーション
　図5の回路のV_INを10μVから10Vまで一桁あたり50ポイント変化させ，OUT端子の電圧をシミュレーションしたものが図6です．V_INが10mVのときに出力電圧が0Vとなっており，V_INが100mVになると-1Vとなり，V_INが10倍になるごとに-1V変化しています．また，V_INが10mVよりも小さくなると，1/10になるごとに1V変化しています．