格子回路の角周波数とゲインの関係

■問題
アナログ回路の基礎 ― 初級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，抵抗(R₁，R₂，R₃)とコンデンサ(C₁)を使った格子回路(Lattice network)です．この回路の入力(v_i)から出力(v_o)までの伝達関数を計算すると，ポールとゼロの角周波数は，ω_Cのとなり，R₃とC₁で決まります．ω_Cより十分低い角周波数をω_L(ω_C/100)，また，十分高い角周波数をω_H(ω_C*100)とします．この場合，図1において，ω_Lとω_Hのときの，ゲイン[v_o(s)/v_i(s)]が正しい組み合わせは(a)～(d)のどれでしょうか．ここで，sはラプラス演算子(s=jω)です.

図1　抵抗とコンデンサを使った格子回路

(a)ω_L：1倍，ω_H：1倍
(b)ω_L：1倍，ω_H：1/2倍
(c)ω_L：1/2倍，ω_H：1倍
(d)ω_L：1/2倍，ω_H：1/2倍

■ヒント

　図1の格子回路は，ブリッジ回路へ変形すると分かりやすくなります．変形したブリッジ回路で，入力からA点とB点の電圧を求め「v_o(s)=v_A(s)-v_B(s)」より，周波数の変化に対するゲインの変化を計算すると求められます.

■解答

(d)ω_L：1/2倍，ω_H：1/2倍

　図1の格子回路は，APF(All Pass Filter)，または，位相器と呼ばれ，周波数の変化に対し，ゲインは1/2倍(-6.02dB)で一定となり，位相だけが変化する回路です．図1の伝達関数[v_o(s)/v_i(s)]より「s=jω」として，ゲインと求めると式1となります．式1の右辺にある複素関数の「1-jω/ω_C」と「1+jω/ω_C」は，絶対値が同じです．よって，ゲインは周波数に関係なく1/2倍(-6.02dB)であり，解答の(d)となります．なお，位相については，後述の解説で計算し要点を示します.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

■解説

●ポールとゼロについて
　回路の周波数応答を表すとき，入力から出力への伝達関数を用います．ここでは，伝達関数中にあるポールとゼロについて，図2を用いて解説します.

図2　双一次伝達関数を持った回路のブロック図
sはラプラス演算子，Kは回路のゲイン，zはゼロに関係する項，pはポールに関係する項を表す．

　図2は，式2に示す伝達関数を持った回路をブロック図で示しました．式2は，1次LPF(Low Pass Filter)や1次HPF(High Pass Filter)，また，今回のAPF(All Pass Fileter)などの伝達関数の一般式で，双一次関数と呼びます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2中のsがラプラス演算子，Kがゲイン，zがゼロに関係する項，pがポールに関係する項を表しています．また，ゼロは零点，ポールは極とも呼びます．ゼロは，式2のゲインがゼロ，すなわち「v_o(s)/v_i(s)=0」となるsの値であり-zとなります．また，ポールはゲインが無限大「v_o(s)/v_i(s)=∞」となるsの値で-pとなります．ゼロやポールは，回路の周波数特性を検討するときに使います.

●伝達関数の振幅と位相
　フィルタの特性や，アンプの周波数特性等では，振幅の周波数特性や位相の周波数特性が重要です．これらは伝達関数から計算ができ，ここでは式2を例に解説します.式2の双一次関数を「s=jω」とおくと式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　振幅は，式3の複素関数の絶対値をとって式4です．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　また，位相は式5となり，θが正なら位相進み，負ならば位相遅れとなります．ここでKの位相が正なら同相なので0°，負ならば位相が反転した逆相なので180°です．

・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5において，Kが正ならば，複素関数の実部と虚部より，位相は式6となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

●伝達関数を求め振幅と位相の周波数特性を調べる
　図1の格子回路は，ブリッジ回路へ変形でき，それを図3へ示します．図3を用いたほうが直感的に分かりやすいと思います．

図3　図1をブリッジ回路へ変形した回路

　図3のA点の電圧は，抵抗R₁とR₂の分圧回路であり，ここでは「R₁=R₂」ですので式7となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　B点の電圧は，C₁とR₃のインピーダンスの分圧回路ですので，式8となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　出力電圧v_o(s)は，A点の電圧からB点の電圧を減算したものなので，式9となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　式9のラプラス演算子を「s=jω」，「ω_C=1/C₁R₃」とおくと，図1の伝達関数は式10となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

　式10より，図3の振幅は，複素関数の絶対値をとって解答の式1となり，ゲインは周波数に関係なく1/2倍(-6.02dB)となります．次に位相は，式10へ式6の関係を用いると式11となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　ここでω_Cは「2πf_C=1/C₁R₃」であり「R₃=1kΩ」，「C₁=1μF」を用いると「f_C=159Hz」です．また，「ω_L=2πf_L=ω_C/100」より「f_L=1.59Hz」，同様に「ω_H=2πf_H =ω_C*100」より「f_H=15.9kHz」です．この3つの周波数における位相を周波数の低い順(f_L，f_C，f_H)で調べると，f_Lは式12になります．

・・・・・・・・・・・・・(12)

　f_Cは式13になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13)

　f_Hは式14となり，周波数の変化で，位相が変わることが分かります．位相は負であり，図1の回路は位相が遅れます.

・・・・・・・・・・・・(14)

●振幅と位相の変化をLTspiceで確かめる
　図4は，図1をシミュレーションする回路です．出力電圧は，A点とB点の差をプロットして，そのゲインと位相を調べます．

図4　図1をシミュレーションする回路

　図5は，シミュレーション結果です．ゲインは，1/2倍(-6.02dB)で一定であることが分かります．また，位相は周波数によって変化し，式12，式13，式14で調べた値と一致しています．このように，図1の回路は周波数が変化してもゲインは一定であり，位相だけが変わるAPF(位相器)の特性であることが分かります.