周波数の変化によりゲインを求める

■問題
アナログ回路の基礎 ― 初級

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1の破線内は，理想積分器で，入力(v_i)と出力(v_o)の周波数の変化によるゲイン「v_o(s)/v_i(s)」を調べる回路です．理想積分器の1Hzのゲインは，小数点以下を切り捨てると「-16dB」です．また，周波数の変化によるゲインの変化は-20dB/decで，周波数が10倍変化すると，ゲインが-20dB(1/10倍)変化します．図1において，周波数が32Hzのとき，ゲインは(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　理想積分器の伝達特性を調べる回路
電圧制御電圧源の伝達関数を1/sとしている.

(a) -34dB，(b) -40dB，(c) -46dB，(d) -52dB

■ヒント

　今回は，周波数の変化が2倍(1オクターブ)離れているときのゲインと10倍(1ディケード)離れているときのゲインの関係を「.ACコマンド」で解説します．理想積分器の伝達関数が「1/s」のとき，周波数が1ディケード離れるとゲインは-20dB変化します．これは，1オクターブ離れたときの変化に置き換えると簡単に計算できます．

　理想積分器は，電圧に依存する電圧制御電圧源を使い，その値にラプラス演算子(s)を使って「Laplace=1/s」としました．LTspiceは，ラブラス演算子を使い，伝達関数を回路中に入れることができます．この機能を使うと，該当する回路を入力せずに伝達関数で与え，全体システムの検証などに役立ちます.　手計算による周波数(f)での周波数応答は「s=jω(ω=2πf)」と置換して計算できます.

■解答

(c) -46dB

　図1のゲインは，-20dB/decの傾きで減衰します．この減衰は，小数点以下を切り捨てると-6dB/octであり，周波数が2倍(1オクターブ)離れると，ゲインは-6dB(1/2倍)変化します.
　1Hzから32Hzまでは，1Hz→2Hz→4Hz→8Hz→16Hz→32Hzと5オクターブ離れています．よって，1Hzのゲインが-16dBなので，その値から-30dB(-6dB/oct×5オクターブ)の変化となり，(c)の-46dBとなります.

■解説

●よく使うゲイン変化の表記
　フィルタの設計，OPアンプの周波数特性など，周波数の関数を片対数グラフへプロットし，ゲインや位相の変化を調べることがあります．このときのゲイン変化の表記として，1次遅れ系のシステムは図2のように，-20dB/dec，また，同意の-6dB/octを使います．

図2　-20dB/dec，-6dB/octを片対数へプロット

　この2つのゲインの変化が同じであることは，下記の計算より求められます．式1より，f₁とf₂が1ディケード離れているとき，3.32オクターブ離れています．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　よって，式2より-20dB/decは，-6.02dB/octとなり小数点以下を切り捨て-6dB/octとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

●理想積分器の周波数の変化によるゲインの変化
　図1の理想積分器のゲインをG(s)とすると「G(s)=v_o(s)/v_i(s)=1/s」です．周波数(f)のデシベルで表したゲイン(G)は，ラプラス演算子を「s=jω(ここでω=2πf)」とおいて計算すると式3となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3を用いて，1Hz，2Hz，10Hz，32Hzの具体的な周波数におけるゲインは式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4より，1Hzと2Hzのゲインの差は-6dBです．同様に10Hzのゲインの差は-20dBなので，-6dB/octと-20dB/decが同意であることが分かります．また，32Hzのゲインは-46dBなので，解答が(c)であることもわかります.

●AC解析のコマンド
　今回の図1のシミュレーションでは，32Hzのゲインをカーソルや「.measコマンド」で探すのではなく，LTspiceのAC解析結果をテキスト・ファイルへエクスポートして値を読むことにします．LTspiceでのAC解析の記述は「Syntax: .ac <oct，dec，lin> <Nsteps> <StartFreq> <EndFreq>」となります.
　周波数のスイープは，oct，dec，linの3種類があります．今回はoct(オクターブ)を用います．また，<Nsteps>は，解析スイープがoctのとき，1オクターブあたりの解析ステップ数となります．また，<StartFreq>は，解析を始める周波数<EndFreq>の解析を終える周波数です.
　図3へAC解析の解析周波数について図示しました．図1のシミュレーションは「.ac oct 2 1 64」を用い，logの底が2の周波数スイープで，log軸上で均等のステップで解析します．具体的には1Hzから64Hzの周波数で，1オクターブあたり2ステップの解析となります．

図3　周波数スイープが「.ac oct 2 1 64」のとき，LTspiceが解析する周波数を図示

　表1は，図3中の計算で求めたf₀～f₁₂の周波数です.　この例はoctですが，decのときは，logの底が10となります.

表1　f₀～f₁₂の解析周波数

●理想積分器をLTspiceで確認する
　図4は，図1をシミュレーションする回路です．電圧制御電圧源(E1)には「Laplace=1/s」を入れ理想積分器としています．また，AC解析のコマンドは前述の「.ac oct 2 1 64」としました．

図4　図1をシミュレーションする回路

　図5は図4のシミュレーション結果です．

図5　　図4のシミュレーション結果

　テキスト・ファイルへエクスポートするときは，図5のプロット上で右クリックし，図6に示す「Export date as text」にて任意のファイル名に保存します．

図6　図5のプロット上で，右クリックし，シミュレーションのデータをテキスト・ファイルへ保存

　図7は，保存したテキスト・ファイルのスナップショットです．

図7　保存したテキスト・ファイルのスナップショット

　AC解析の周波数は表1に示したものと同じです．また，1Hz，2Hz，4Hz，8Hz，16Hz，32Hz，64Hzのオクターブの変化において，ゲインの変化は，-6dB/octとなります．32Hzのゲインをみると解答(c)の-46dBとなることがわかります.「Export date as text」を使うと，シミュレーション結果をテキスト・ファイルへ保存でき，他のグラフソフトへデータを移せますので，実測値とシミュレーションの比較などに利用できます.

■データ・ファイル

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice4_005.zip

●データ・ファイル内容
Ideal_Integrator.asc：図4の回路