交流信号による平均電力と実効値

■問題

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，抵抗値が10Ωのヒータ(RH)に直流電圧10Vを加えている回路です．ヒータには1Aの電流が流れ，ヒータで発生する電力は10Wになります．このヒータに直流電圧の代わりに，図2(A)～(D)のような波形の交流電圧を加えました．(A)～(D)でヒータの発生する電力の平均値（実効値）が直流電圧と同じ10Wになるものはどれでしょうか．

図1　10Ωのヒータに10Vの直流電圧を加える回路
ヒータに流れる電流は1Aで，発生する電力は10W．

図2　図1に加えた様々な波形の交流電圧
(A)：ピーク電圧が20Vでデューティ比50%のパルス波
(B)：振幅が√2*10Vの正弦波
(C)：振幅がπ*5Vの正弦波
(D)：振幅が15Vの三角波

■ヒント

　今回は，直流電源を使用している回路を交流電源に変更した場合，負荷抵抗で発生する電力を同じにする方法を解説します．ヒータで発生する電力の瞬時値は，加えた電圧の瞬時値の二乗を抵抗値で割ったものです．この電力の瞬時値の，1周期の平均を計算すれば電力の平均値となります．これを図1の電力と比較すれば，答えが分かります．

　実効値とは，交流信号の電圧の表し方の1つです．交流信号の電圧には，様々な波形があり，どのような波形でも同一の指標で大きさが比較できるよう，抵抗に発生する電力を元にして定義したものが実効値です．抵抗に，ある値の実効値の交流信号を加えたとき，抵抗で発生する一周期の平均電力と，同じ値の直流電圧を加えたときの電力は等しくなります．実効値電圧の単位としてはV_RMS（root mean square）が使われます．

■解答

(B)

　正弦波の実効値は，ピーク値の1/√2なので，(B)の実効値は10Vとなり，抵抗で発生する平均電力は10Wになります．(A)，(C)で発生する電力は10Wよりも大きく，(D)で発生する電力は10Wよりも小さくなります．

■解説

●パルス波による平均電力と実効値
　まず，数式を使ってパルス波，正弦波，三角波それぞれのピーク電圧と平均電力の関係を計算してみます．図2(A)において，ピーク電圧をV_Pとし，周期をTとします．デューティ比50%のパルス波なので，電圧がV_PとなっているT/2の期間の電力を計算し，Tの期間の電力の平均値を計算すればよいことになります．T/2の期間の電力は，V_P²/RHなので，Tの期間の平均電力(P_Puls)は，V_P²/RHを2で割り，(1)式で計算することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　図2(A)の波形の平均電圧は，10Vなので一見，平均電力も直流10Vと同じ10Wになると思います．しかし，平均電力は，直流10Vの2倍の20Wになります．一方，実効値は，式1と同じ電力相当の直流電圧のことなので，これをV_PulsRMSと置くと，式2となり，この式から式3のようにV_PulsRMSを求めることができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

●正弦波による平均電力と実効値
　図2(B)(C)の波形を，ピーク電圧をV_Pの正弦波(V_Psin(ωt))とすると，瞬時電力は(V_Psin(ωt))2/RHとなります．平均電力(P_sin)は，瞬時電力を1周期分で積分し，1周期の時間で割れば求められ式4になります．

・・・・・・(4)

　式4に図2(B)(C)の値を代入すると，式5のように図2(B)が直流電圧10Vのときと同じ10Wとなり，式6のように図2(C)が10Wよりも大きい12.33Wとなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)
　また，実効値はパルス波形のときと同様に，式4と同じ電力相当の直流電圧のことなので，これをV_sinRMSと置くと式7となり，式7から式8のようにV_sinRMSを求めることができます．そして，図2(B)の値を代入すると，10Vになることが分かります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

●三角波による平均電力と実効値
　図2(D)の三角波の波形を見ると，1周期を4分割したそれぞれの期間の電力は同じになります．なので，平均電力は1周期の1/4の電力を積分し，1/4周期の時間で割ればよいことが分かります．最初の1/4周期の電圧は，ピーク電圧をV_Pとすると，4*V_P*t/Tという式で表されます．そして，平均電力(P_tri)は式9で計算することができます．

・・・・・(9)

　実効値(V_triRMS)は，これまでと同様，式10，11で求められ，図2(D)の値を代入すると，8.66Vになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

●パルス波による平均電力をLTspiceで確認する
　図3は，パルス波による平均電力をシミュレーションするための回路です．ピーク電圧が20Vでデューティ比50%のパルス波となります．

図3　パルス波による平均電力をシミュレーションするための回路
ピーク電圧20Vでデューティ比50%のパルス波．

　図3でシミュレーションを実行し，Altキーを押しながら抵抗(RH)の上にカーソルを置くと，カーソルが温度計のマークに変わります．この状態で左クリックすると，図4左のようなシミュレーション結果（RHの電力波形）を表示することができます．
　図4左から，ピーク電圧20Vのとき電力が40Wで，0Vのとき電力が0Wなので，平均電力が20Wになることは暗算できます．しかし，LTspiceで計算させて確認することもできます．グラフ上部のV(heater)*I(RH)をCtrlキーを押しながら左クリックすると，図4右のようなウィンドウが現れ，表示されている波形の平均値を確認することができます．

図4　図3のシミュレーション結果
パルス電圧が20Vのときの電力は40Wで平均電力は20W．

　図5左は，図3の抵抗に加わる電圧を表示したものです．ここで，V(heater)をCtrlキーを押しながら左クリックすると図5右のウィンドウで実効値が14.14Vと確認することができます．

図5　抵抗に加わる電圧を表示
V(heater)をCtrlキーを押しながらクリックすると実効値を確認できる．

●正弦波による平均電力をLTspiceで確認する
　図6は，正弦波による平均電力をシミュレーションするための回路です．正弦波の振幅は図2(B)の値（√2*10)になっています．

図6　正弦波による平均電力をシミュレーションするための回路
振幅は図2(B)の値の√2*10Vとなっている．

　図7左は，図6のシミュレーション結果です．図6でAltキーを押しながら抵抗(RH)の上で左クリックし，抵抗の電力を表示しています．電力の最大値は20Wで，電力の波形は入力電圧の2倍の周波数の正弦波となっています．そして，平均電力は式5で計算したように10W（図7右）となっています．

図7　図6のシミュレーション結果
電力の最大値が20Wで平均電力は10W．

　図8左は，抵抗に加わる電圧で，V(heater)をCtrlキーを押しながら左クリックして表示されたウィンドウ(図8右)から，実効値が10V_RMSであることが確認できます．

図8　図6で抵抗に加わる電圧を表示
実効値は10Vとなっていることを確認できる．

　図9左は，入力正弦波の振幅を図2(C)のπ*5Vにしたときのシミュレーション結果です．電力の最大値は，約25Wで平均電力は式6で計算したように12.3W(図9右)になっています．

図9　入力電圧をπ*5Vにした時のシミュレーション結果
平均電力は，12.3Wになっている．

●三角波による平均電力をLTspiceで確認する
　図10は，三角波による平均電力をシミュレーションするための回路です．PWL信号を使用し，各時間の電圧を指定することで三角波を生成しています．

図10　三角波による平均電力をシミュレーションするための回路
PWL信号を使用して三角波を生成している．

　図11左は，図10のシミュレーション結果です．図10でAltキーを押しながら抵抗(RH)の上で左クリックすると，抵抗の電力が表示されます．図11左の電力の波形は，下側が丸まった三角波となっており，直観的に平均値がいくつかを把握することは難しいです．しかし，V(heater)*I(RH)をCtrlキーを押しながら左クリックすることで，図11右のように7.5Wとなっていることが確認できます．これは式9で計算した値と同じです．