トランスの巻き数と入力／出力電圧の関係

■問題

平賀　公久　Kimihisa Hiraga

　図1は，トランス（変圧器）を使い1次側コイル（Primary）の入力電圧(v_p)を2次側コイル（Secondary）の出力電圧(v_s)へ変換（昇圧/降圧）する回路です．トランスの巻き数の比は，1次側コイル(L_p)の巻き数をN_p，2次側コイル(L_s)の巻き数をN_sとすると「N_p:N_s=3:1」です．また，トランスは，漏れ磁束のない，結合係数(k)が1で，2つのコイルの内部抵抗がゼロの無損失とします．コイルのインダクタンスは，巻き数比の2乗に比例するため「L_p=900μH」，「L_s=100μH」としました．
　1次側コイルには，電圧振幅(v_i)が9V，周波数(f)が100kHz，信号源抵抗(R_S)が0.1Ωの交流電圧源が接続されています．この場合，2次側コイルの電圧（v_s）は，次の(a)～(d)のどれでしょうか．

図1　巻き数の比「N_p:N_s=3:1」となるトランスの回路
2次側コイルの電圧（v_s）は何Vでしょうか？

(a) 27V，(b) 81V，(c) 1V，(d) 3V

■ヒント

　今回は，トランスの巻き数の比と入力電圧，出力電圧の比について解説します．図1の2つのコイルは，結合係数(k)が1であることから，1次側コイル(L_p)の磁束Φは，漏れることなく全て，2次側コイル(L_s)に関係しています．よって，トランスの1次側コイルの電圧は「v_p=N_p*(dΦ/dt)」となり，2次側コイルの電圧は「v_s=N_s*(dΦ/dt)」となります．この関係より2次側コイルの電圧(v_s)が求まります．

　トランスは電力システムやパワー・エレクトロニクスの分野において重要な部品です．トランスは巻き数の比により1次側と2次側で電圧を変換（昇圧/降圧）できることから，高圧の電力線から家庭の100V商用電源に電圧を降圧したり，また，ACアダプタのように，商用電源から直流を作るAC-DCコンバータやDC-DCコンバータなどに広く使われています．トランスは「トランスフォーマ（Transformer）」を略した呼び名です．

■解答

(d) 3V

　トランスの1次側コイルの電圧(v_p)と2次側コイルの電圧(v_s)は巻き数の比に関係し「v_p/v_s=N_p/N_s」となります．図1の巻き数の比は「N_p/N_s=3」であり，v_pの電圧は9Vであることから，v_sは「v_s=v_p/3=3V」と降圧します．逆に，巻き数の比を「N_p:N_s=1:3」にすると27Vに昇圧します．

■解説

●トランスは磁気的に結合されたコイル
　図2は，2つのコイルと1つのコアからなる理想トランスのイメージ図です．コイルは導線を巻いたインダクタですが，ここではコイルと呼ぶことにします．図2は，左側のコイルを1次側，右側のコイルを2次側とし，1次側コイルの巻き数をN_p，2次側コイルの巻き数をN_sとして表しています．
　トランスは磁気的に結合したコイルであり，1次側のコイルに電流が流れると，磁束Φはコアが通り道となって伝わり，2次側に誘導起電力が生まれます．トランスは1次側コイルから2次側コイルに「電気-磁気-電気」と変化しながら伝送します．また2つのコイルは電気的に絶縁されていることから，高電力システムからの感電を防ぐ目的もあります．
　ドット（黒の点）は極性を示し，1次側の逆起電力と2次側の誘導起電力は，ドットの記号に対して同じ方向になり，図2の場合はv_pとv_sが同相となります．

図2　理想トランスのイメージ図
1次側コイルの巻き数をN_p，2次側コイルの巻き数をN_sとした．

●トランスの電圧，電流，電力の関係
　図3は，図2で示したトランスの回路図です．2つのコイルは磁気的に結合しており，その結合係数を図1で示したkで表します．

図3　図2で示したトランスの回路図
コイルの隣にあるドット（黒の点）は極性を示す．

　結合係数(k)は，2つのコイルの磁気的な結合の尺度であり，2つのコイルの自己インダクタンス（L_p，L_s）と，相互インダクタンス(M)は，式1の関係となります．ここで，kは「0≦k≦1」の範囲であり，kが1のときが理想トランスで，1次側コイルの磁束は全て2次側コイルに入り，完全な磁気結合の状態となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　理想トランスの電圧，電流，電力の関係についてまとめると次のa～cのようになります．

a．理想トランスの1次側と2次側の電圧の関係
　1次側コイルの電圧(v_p)と2次側コイルの電圧(v_s)は，結合係数(k)を1としたとき，式2と式3の関係があります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式2と式3より，1次側コイルと2次側コイルの電圧の比（v_p/v_s）と，巻き数の比（N_p/N_s）は式4となります．このように1次側と2次側の電圧の比は，巻き数の比「n=N_p/N_s」に比例します．式4の関係より，図1の2次側の電圧（v_s）の振幅は3Vと解答で計算しました．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
b．理想トランスの1次側と2次側の電流の関係
　トランスの1次側の電流(i_p)と2次側の電流(i_s)は，巻き数の比により変えることができます．式5は，巻き数と電流の関係を示しました．式5を整理したものが式6であり，1次側と2次側の電流の比は，巻き数の比に反比例します．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

c．理想トランスの1次側と2次側の電力の関係
　トランスの1次側の電力(P_p)と2次側の電力(P_s)は式7と式8となります．これより1次側と2次側の電力の比は，式9となり，理想トランスの場合，電力は等しくなります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

　以上，1次側と2次側の電圧，電流，巻き数，自己インダクタンスは，aの電圧とbの電流，コイルのインダクタンスの関係から，巻き数比の2乗に比例することを使うと式10の関係となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

●LTspiceで2次側コイルの電圧を確かめる
　図4は，図1の回路をシミュレーションする回路です．LTspiceでトランスを回路図エントリするとき，極性を示したインダクタはコンポーネント中の「ind2」を使います．

図4　図1をシミュレーションする回路
極性を示したインダクタはコンポーネント中の「ind2」を使う．

　結合係数(k)は，Spice Directiveを使って回路図に入れ込みます．Spice Directiveは，「Edit-> SPICE Directive」または，キーボードの「S」を押して図5のようにKステートメントを入力します．Kステートメントは，1次側コイルがL_p，2次側コイルがL_sで，そのときの結合係数(k)が1のとき，「k L_p L_s 1」という記述になります．詳しくは，ヘルプの検索で「K Mutual Inductance」と入力し，Kステートメントの文法をご参照ください．