温度による出力電圧の変化が最も小さい抵抗値はいくつ？

■問題

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1は，バンド・ギャップ・リファレンスと呼ばれる基準電圧源の回路図です．トランジスタQ₁，Q₂，Q₃，Q₄の特性は同じで，温度も等しく，また，抵抗の温度係数は無視できるものとします．この回路で周囲温度を-25℃から75℃に変えた場合，温度による出力電圧の変化（温度係数)が最も小さいR₃の抵抗値は，(A)～(D)の中のどれでしょうか．

図1　バンド・ギャップ・リファレンスと呼ばれる基準電圧源
温度による出力電圧変化の小さいR₃の抵抗値は？

(A) 360Ω　(B) 720Ω　(C) 1440Ω　(D) 2880Ω

■ヒント

　図1の回路において，温度による出力電圧の変化が小さいのは，出力電圧を1.262Vにしたときです．R₃を変えることで出力電圧が変わります．そのため，出力電圧が1.262Vに一番近くなるR₃の値を選べばよいことになります．

　バンド・ギャップ・リファレンスとはIC内部の基準電圧源として欠かすことのできないものです．シリコンのバンド・ギャップ電圧(1.205V)に近い出力電圧としたときに，温度による出力電圧の変化（温度係数）が小さくなるため，バンド・ギャップ・リファレンスと呼ばれます．

■解答

(B) 720Ω

　図1の回路において，R₁とR₂の抵抗比が4:1なので，Q₁のコレクタ電流はQ₂のコレクタ電流の4倍になります．そのため，Q₂のコレクタ電流（I_CQ2)は「I_CQ2=(V_T*ln(4))/R₃」で計算することができます．Q₁の電流（I_CQ1)は「I_CQ1=4*I_CQ2」となるので，出力電圧(V_OUT)の概算値は式1で計算することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1を使用して，温度による出力電圧の変化が小さい「V_OUT=1.262V」になるR₃の値を計算すると，式2のように640Ωになります．

・・・・・・・・・・・・・・(2)

　(A)～(D)でこの値に最も近いのは(B)の720Ωです．そのため，正解は(B)ということになります．

■解説

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の動作
　図1のバンド・ギャップ・リファレンス回路の動作はやや難解ですが，各トランジスタの役割とともに，順番に解説していきます．図2は，図1の回路の動作を理解しやすくするために，回路の一部を取り出し，書き換えたものです．Q₄のかわりに電圧源V1が配置されています．Q₃は単純なダイオードに書き換え，さらに「NPN 0.25」として，1/4サイズのトランジスタとしてあります．また，R₃は解答で求めた720Ωにしました．

図2　図1の回路の動作を理解するために抜粋した回路
Q₄はV1に置き換え，Q₂，Q₃の接続も変更してある．

　図3は，図2でV1の値を変えたときのシミュレーションを行い，Q₂のコレクタ電流とR₂の電流をプロットしたものです．Q₁とQ₂はカレント・ミラーとして動作しますが，R₃があることによって，Q₁の電流が増えてもQ₂のコレクタ電流がリニアに増加することはありません．そのため，図2の定数では，OUT端子の電圧が，1.23V（1.262Vの近似値）より低いときは，Q₂のコレクタ電流がR₂に流れる電流よりも大きくなっています．1.23Vを越えるとR₂の電流のほうが大きくなります．

図3　図2のシミュレーション結果
1.23V以下ではQ₂のコレクタ電流のほうが多い．

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の動作をLTspiceで確認する
　図4は，図1の回路をシミュレーションするための回路図です．ここでも，R₃は解答で求めた720Ωにしています．

図4　図1の回路をシミュレーションするための回路　温度を変化させ，OUT端子の電圧をシミュレーションする　

　図4において，Q₄はエミッタ・フォロアとして動作し，R₁とR₂に等しい電圧を供給します．Q₃はR₂の電流とQ₂の電流が等しくなるように，Q₄を介してOUT端子の電圧を制御する働きをしています．
　OUT端子の電圧が低いときは図3のように，Q₂のコレクタ電流のほうがR₂の電流よりも大きいため，Q₃のベース電圧が低くなります．すると，Q₃のコレクタ電流が流れないので，Q₄のベース電圧が高くなります．それによって，OUT端子の電圧が上昇します．
　OUT端子の電圧が一定の電圧を越えるとR₂の電流のほうが大きくなります．するとQ₃のベース電圧が高くなり，Q₃のコレクタ電流が増えます．それによって，Q₄のベース電圧が下がり，OUT端子の電圧も下がります．このようにして，バンド・ギャップ・リファレンス回路のOUT端子の電圧は，「特定の電圧」で落ち着くことになります．

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の出力電圧を求める式
　次にバンド・ギャップ・リファレンス回路の出力電圧を求める式について解説します．「特定の電圧」に落ち着くのは，R₂の電流とQ₂の電流が等しくなったときです．ここで，Q₁のベース・エミッタ間電圧(V_BE)とQ₃のV_BEがほぼ等しいと仮定します．すると，R₁とR₂に加わる電圧は等しくなります．R₂の抵抗値はR₁の4倍に設定されているため，R₁の電流はR₂の電流の4倍になります．ベース電流を無視するとR₁の電流とQ₁のコレクタ電流は同じです．また，R₂の電流とQ₂のコレクタ電流も等しくなっています．そのため，Q₁のコレクタ電流はQ₂のコレクタ電流の4倍になります．Q₁とQ₂のV_BEはそれぞれ式3，式4で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
ただし，V_T=K*T/q=26mV　K:ボルツマン定数，T:絶対温度，q:電子電荷

　Q₂のコレクタ電流のほうが少ないため，V_BEも小さくなり，Q₁とQ₂のV_BEの差電圧（ΔV_BE)がR₃に加わる電圧となります．差電圧ΔV_BEは式5で計算できます．

・・・・・(5)

　Q₂のコレクタ電流(≒エミッタ電流)は式5の結果を使い，式6のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　OUT端子の電圧(V_OUT)はQ₁のV_BEとR₁の電圧降下を足し合わせたものなので，式7で表されます．

・・・・・(7)

　V_BEQ1を0.7Vとして式7を書き換えると式8のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　式8は式1と同じです．なので，R₃に720Ω，R₁に2.5kΩを代入すると1.262Vの近似値が得られます．式7を見ると式の第一項はV_BEで，マイナスの温度係数を持った電圧です．第二項はV_Tに比例した値でプラスの温度係数を持っています．この両者を適切な比率で加算すれば，「特定の電圧」で温度による出力電圧の変化（温度係数）を小さくできることが分かります．
　図5は，図4のシミュレーション結果です．式7のようにマイナスの温度係数を持つV_BEQ1とプラスの温度係数を持つR₁の電圧を加算することで，温度による出力電圧(V(OUT))の変化（温度係数）が小さくなっていることがわかります．

図5 　図4のシミュレーション結果
マイナスとプラスの温度係数の電圧の加算で温度係数が小さくなっていることがわかる．

●温度係数が最も小さくなる1.262Vとは
　ヒントにも記載したように図1の回路で出力電圧の温度係数が最も小さくなるのは，OUT端子の電圧を1.262Vにしたときです．1.262Vの算出過程は省略しますが，25℃での温度係数が最も小さくなる電圧は，式9のようにシリコンの物理定数であるバンド・ギャップ電圧(1.205V)に，25℃での熱電圧V_T(26mV)を2.2倍したものを加算したものになります．

・・・・・・・・・・・・・・(9)

　実際の設計ではこの電圧を目安に，最も温度係数が小さくなるように，R₃の値などを微調整することになります．