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　図1は，バンド・ギャップ・リファレンスと呼ばれる基準電圧源の回路図です．トランジスタQ₁，Q₂，Q₃，Q₄の特性は同じで，温度も等しく，また，抵抗の温度係数は無視できるものとします．この回路で周囲温度を-25℃から75℃に変えた場合，温度による出力電圧の変化（温度係数)が最も小さいR₃の抵抗値は，(A)～(D)の中のどれでしょうか．

　図1の回路において，温度による出力電圧の変化が小さいのは，出力電圧を1.262Vにしたときです．R₃を変えることで出力電圧が変わります．そのため，出力電圧が1.262Vに一番近くなるR₃の値を選べばよいことになります．

　図1の回路において，R₁とR₂の抵抗比が4:1なので，Q₁のコレクタ電流はQ₂のコレクタ電流の4倍になります．そのため，Q₂のコレクタ電流（I_CQ2)は「I_CQ2=(V_T*ln(4))/R₃」で計算することができます．Q₁の電流（I_CQ1)は「I_CQ1=4*I_CQ2」となるので，出力電圧(V_OUT)の概算値は式1で計算することができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1を使用して，温度による出力電圧の変化が小さい「V_OUT=1.262V」になるR₃の値を計算すると，式2のように640Ωになります．

・・・・・・・・・・・・・・(2)

　(A)～(D)でこの値に最も近いのは(B)の720Ωです．そのため，正解は(B)ということになります．

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の動作
　図1のバンド・ギャップ・リファレンス回路の動作はやや難解ですが，各トランジスタの役割とともに，順番に解説していきます．図2は，図1の回路の動作を理解しやすくするために，回路の一部を取り出し，書き換えたものです．Q₄のかわりに電圧源V1が配置されています．Q₃は単純なダイオードに書き換え，さらに「NPN 0.25」として，1/4サイズのトランジスタとしてあります．また，R₃は解答で求めた720Ωにしました．

　図3は，図2でV1の値を変えたときのシミュレーションを行い，Q₂のコレクタ電流とR₂の電流をプロットしたものです．Q₁とQ₂はカレント・ミラーとして動作しますが，R₃があることによって，Q₁の電流が増えてもQ₂のコレクタ電流がリニアに増加することはありません．そのため，図2の定数では，OUT端子の電圧が，1.23V（1.262Vの近似値）より低いときは，Q₂のコレクタ電流がR₂に流れる電流よりも大きくなっています．1.23Vを越えるとR₂の電流のほうが大きくなります．

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の動作をLTspiceで確認する
　図4は，図1の回路をシミュレーションするための回路図です．ここでも，R₃は解答で求めた720Ωにしています．

　図4において，Q₄はエミッタ・フォロアとして動作し，R₁とR₂に等しい電圧を供給します．Q₃はR₂の電流とQ₂の電流が等しくなるように，Q₄を介してOUT端子の電圧を制御する働きをしています．
　OUT端子の電圧が低いときは図3のように，Q₂のコレクタ電流のほうがR₂の電流よりも大きいため，Q₃のベース電圧が低くなります．すると，Q₃のコレクタ電流が流れないので，Q₄のベース電圧が高くなります．それによって，OUT端子の電圧が上昇します．
　OUT端子の電圧が一定の電圧を越えるとR₂の電流のほうが大きくなります．するとQ₃のベース電圧が高くなり，Q₃のコレクタ電流が増えます．それによって，Q₄のベース電圧が下がり，OUT端子の電圧も下がります．このようにして，バンド・ギャップ・リファレンス回路のOUT端子の電圧は，「特定の電圧」で落ち着くことになります．

●バンド・ギャップ・リファレンス回路の出力電圧を求める式
　次にバンド・ギャップ・リファレンス回路の出力電圧を求める式について解説します．「特定の電圧」に落ち着くのは，R₂の電流とQ₂の電流が等しくなったときです．ここで，Q₁のベース・エミッタ間電圧(V_BE)とQ₃のV_BEがほぼ等しいと仮定します．すると，R₁とR₂に加わる電圧は等しくなります．R₂の抵抗値はR₁の4倍に設定されているため，R₁の電流はR₂の電流の4倍になります．ベース電流を無視するとR₁の電流とQ₁のコレクタ電流は同じです．また，R₂の電流とQ₂のコレクタ電流も等しくなっています．そのため，Q₁のコレクタ電流はQ₂のコレクタ電流の4倍になります．Q₁とQ₂のV_BEはそれぞれ式3，式4で表されます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
ただし，V_T=K*T/q=26mV　K:ボルツマン定数，T:絶対温度，q:電子電荷

　Q₂のコレクタ電流のほうが少ないため，V_BEも小さくなり，Q₁とQ₂のV_BEの差電圧（ΔV_BE)がR₃に加わる電圧となります．差電圧ΔV_BEは式5で計算できます．

・・・・・(5)

　Q₂のコレクタ電流(≒エミッタ電流)は式5の結果を使い，式6のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　OUT端子の電圧(V_OUT)はQ₁のV_BEとR₁の電圧降下を足し合わせたものなので，式7で表されます．

・・・・・(7)

　V_BEQ1を0.7Vとして式7を書き換えると式8のようになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　式8は式1と同じです．なので，R₃に720Ω，R₁に2.5kΩを代入すると1.262Vの近似値が得られます．式7を見ると式の第一項はV_BEで，マイナスの温度係数を持った電圧です．第二項はV_Tに比例した値でプラスの温度係数を持っています．この両者を適切な比率で加算すれば，「特定の電圧」で温度による出力電圧の変化（温度係数）を小さくできることが分かります．
　図5は，図4のシミュレーション結果です．式7のようにマイナスの温度係数を持つV_BEQ1とプラスの温度係数を持つR₁の電圧を加算することで，温度による出力電圧(V(OUT))の変化（温度係数）が小さくなっていることがわかります．

●温度係数が最も小さくなる1.262Vとは
　ヒントにも記載したように図1の回路で出力電圧の温度係数が最も小さくなるのは，OUT端子の電圧を1.262Vにしたときです．1.262Vの算出過程は省略しますが，25℃での温度係数が最も小さくなる電圧は，式9のようにシリコンの物理定数であるバンド・ギャップ電圧(1.205V)に，25℃での熱電圧V_T(26mV)を2.2倍したものを加算したものになります．

・・・・・・・・・・・・・・(9)

　実際の設計ではこの電圧を目安に，最も温度係数が小さくなるように，R₃の値などを微調整することになります．

●温度特性をシミュレーションする
　図6は，図1の回路でR₃の値を変えたときの温度特性をシミュレーションするための回路です．「.step」でR₃の抵抗値を360Ω，720Ω，1440Ω，2880Ωと変化させています．

　図7は，図6のシミュレーション結果です．R₃の値を720Ωとしたとき，温度による出力電圧の変化が一番小さくなっています．

　図1の回路は電源電圧を変えるとQ₃のコレクタ電流が変化します．Q₃のコレクタ電流が変化することで，Q₃のV_BEも多少変化するため，出力電圧も若干変化してしまいます．そのため，電源電圧依存性を小さくする改良を加えたものなど，さまざまなバンド・ギャップ・リファレンスが考案され，使用されています．

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice2_031.zip

●データ・ファイル内容
bandgap0.asc：図2の回路
bandgap1.asc：図4の回路
bandgap2.asc：図6の回路

■LTspice関連リンク先