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　図1は，ハウランド電流ポンプ（Howland Current Pump）と呼ばれる電圧制御電流源です．1個のOPアンプ（LT1001）と4個の抵抗から構成されています．抵抗の値は，R₁，R₂，R₃，R₄全て10kΩです．この回路は，入力電圧（V_IN+）に応じた電流（I_L）をグランウドに接続した100Ωの負荷抵抗（R_L）へ流す働きをします．入力電圧（V_IN+）が1Vのとき，負荷抵抗（R_L）に流れる負荷電流（I_L）は(a)～(d)のうちどれでしょうか．

　図1は「R₂/R₁」と「R₄/R₃」の抵抗比が同じであり，OPアンプの非反転端子と反転端子への帰還量は同じです．また，OPアンプの非反転端子と反転端子はバーチャル・ショートであり，その電圧はV_Oとなります．上記の条件においてR₁に流れる電流をI₁，R₂に流れる電流をI₂とすれば，負荷電流I_Lは「I_L=I₁+I₂」として求められます．

　図1の抵抗R₁，R₂，R₃，R₄をRとして，OPアンプの出力端子の電圧をV_a，バーチャル・ショートの電圧をV_Oとすれば式1になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　また，負荷抵抗に流れる電流をI_L，R₁に流れる電流をI₁，R₂に流れる電流をI₂とすれば式2になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2のI₁とI₂を図1の電圧と抵抗で表せば式3になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3へ式1を代入すれば式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4に「V_IN+=1V」，「R=10kΩ」を代入すれば，I_Lは100μAとなり，解答は(c)となります．

●ハウランド電流ポンプは抵抗比を合わせることが重要
　図1の回路で「R₁=R₂=R₃=R₄=R」とすれば，式4のように電圧を電流に変換するゲインは「1/R」となります．また，式4の負荷電流（I_L）は，ハウランド電流ポンプの出力電圧V_Oの項がありません．したがって，入力電圧が一定であれば，出力電圧によって負荷電流が変化しない，定電流源となります．
　ここで，図1を使い，出力電圧に依存しない電流源となる条件について考察します．図1において，非反転端子と反転端子はバーチャル・ショートですのでV_aは式5となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　また，キルヒホッフの法則より式6の関係があります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　式6へ式5を代入して整理すると，負荷電流（I_L）は式7となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　式7より，出力電圧V_Oに依存しない条件は，右辺第2項がゼロとなるときです．すなわち，右辺第2項の小括弧内をゼロとすればよくて，その条件は「R₂/R₁=R₄/R₃」になります．また，このときの負荷電流は「I_L=V_IN+/R₁」となります．このようにハウランド電流ポンプは「R₂/R₁=R₄/R₃」となるように抵抗比をあわせることが重要です．

●ハウランド電流ポンプをLTspiceで確かめる
　図2は，図1をシミュレーションする回路です．OPアンプの電源は±15V，入力電圧は-5Vから+5Vまで10mVステップで増加させ，負荷抵抗に流れる電流をシミュレーションします．また，負荷抵抗に依存しない（前述の出力電圧「V_O=I_L*R_L」に依存しない）ことを確かめるために負荷抵抗を「.stepコマンド」で10Ω，100Ω，1kΩと変化させています．

　図3が図2のシミュレーション結果です．まず，負荷電流が「V₁=1V」のとき，100μAであり解答と同じであることが確かめられました．負荷抵抗を10Ω，100Ω，1kΩと変化させてもグラフは重なっており，負荷電流は変わりません．また，接地した負荷に対し正と負の電流を流しており，両方向の電圧制御電流源として動作することも分かります．

●改良型の電圧制御電流源
　ハウランド電流ポンプは入力電圧（V_IN+）とR₁で負荷電流を制御していました．この場合，負荷電流を小さくするとき，小さなV_IN+の電圧，あるいは，大きな値のR₁が必要となります．R₁を大きくするとR₂，R₃，R₄も大きくなります．
　図4は，ハウランド電流ポンプを改良した電圧制御電圧源で，ボルテージ・フォロワ回路をR₂と負荷抵抗（R_L）の間に入れ，負荷電流がR₂側へ流れないようにした回路です．この変更により，R₁，R₂，R₃，R₄を大きな値にしなくてもよく，負荷電流は，抵抗R₅で制御できるようになります．

　図4の負荷電流（I_L）が負荷抵抗に依存しない（出力電圧「V_O=I_L*R_L」に依存しない）関係と，そのときの負荷電流を求めます．まず，図4は，式8～式11の関係があります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(11)

　これらより，式12が求まります．

・・・・・・・・(12)

　式12より，負荷電流が負荷抵抗に依存しない電流源となるためには，右辺の小括弧内がゼロとなるように「R₃/(R₃+R₄)=R₁/(R₁+R₂)」の関係にする必要があります．小括弧内がゼロとするには「R₂/R₁=R₄/R₃」とすればよいことが分かります．このときの負荷電流は，式13となり，R₅で制御できることが分かります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(13)

　図5は，図4のシミュレーション結果です．図4では，V₁へ振幅1V，周波数1kHzの正弦波を印加しています．また，図2と同様に負荷抵抗を「.stepコマンド」で10Ω，100Ω，1kΩと変化させ，過渡解析を用いました．

　「R₁=R₂=R₃=R₄=10kΩ」，「R₅=100kΩ」，「V₁=1V」の条件では，式13より「I_L=10μA」となります．図5のシミュレーション結果でも負荷電流のピーク値は，10μAとなっていることが確かめられました．また，接地した負荷に対し正と負の電流を流しており，両方向の電圧制御電流源として動作することも分かります．

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice2_030.zip

●データ・ファイル内容
Howland.asc：図2の回路
V_Otgate_Controlled_Current_Source.asc：図4の回路

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