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　図1は，無安定マルチバイブレータを使用した発振回路です．抵抗R₁とR₄が10kΩ，抵抗R₂とR₃が360kΩで，コンデンサC₁とC₂が1μFです．出力は，Out端子から取り出しています．この無安定マルチバイブレータの発振周波数(f)として，もっとも適切なのは(A)～(D)のどれでしょうか．

　図1において，トランジスタのコレクタの発振波形は，ほぼ矩形波となっています．一方，ベースの波形は半波おきの鋸歯状波です．この鋸歯状波の周期を決めている部品が何かを考えれば，答えがわかります．

　図1の回路のQ₁，Q₂は，交互にオン・オフを繰り返します．Q₁がオフしている時間の長さは，抵抗R₃とC₂で決まり，その時間(T1)は「T1≒0.726*360k*1μ」となります．また，Q₂がオフしている時間の長さは抵抗R₂とC₁で決まり，その時間(T2)は「T2≒0.726*360k*1μ」となります．発振の周期(T)は，T1とT2を足したものです．発振周波数(f)は，Tの逆数なので，「f=1/(2*0.726*360k*1μ)=1.9Hz」となります．つまり正解は，(B)ということになります．

●抵抗とコンデンサの過渡応答
　図1の回路の発振周波数を計算するために，まず，図2のような抵抗とコンデンサで構成された回路で，電圧をステップ状にEという電圧に変化させたときの応答を考えてみます．図2ではEは1Vとしています．

　図2の回路のシミュレーション結果が図3です．入力電圧V(in)は0Vから1Vにステップ状に変化していますが，出力電圧V(out)はゆっくりと変化し，やがてV(in)と同じ電圧になります．この回路の出力電圧の時間変化の様子は式1で表すことができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

　式1でコンデンサと抵抗の値を掛け合わせたC*Rを時定数(τ)と呼びます．時間tがC*Rと等しいとき，出力電圧は「V(out)=E(1-exp(-1))=0.632*E」となり，最終電圧の63.2%の電圧になります．
　図2の定数では「τ=1μ*360k=0.36秒」です．ただし，図1の発振周期はτと違った値になります．図1の発振周期を計算するためには，最終電圧の50%程度の電圧になるまでの時間が重要になります．その時間を計算するため，まず，出力電圧が最終電圧の何割にあたるかという比率をkと置きます．kは式2で表すことができます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

　式2を変形すると，式3になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

　式3の両辺の逆数を取り，さらに両辺の自然対数をとると式4になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　式4をｔについて解くと式5が得られます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　式5に「K=0.5」を代入すると「t=ln(2)C*R=0.69C*R」となり，最終電圧の50%の電圧になるまでの時間は0.69C*Rで計算できることがわかります．

●無安定マルチバイブレータの発振メカニズム
　図4は，無安定マルチバイブレータのシミュレーション用の回路図です．

　図5は，図4の回路のシミュレーション結果です．図5のシミュレーション結果を見ながら，動作のしくみと発振周波数を考えていきます．

　V(out)とV(o2)は0Vから5Vまで変化する矩形波で，互いに逆位相となっています．まず，Q₁がオフしていてQ₂がオンしている状態から考えます．その状態でQ₁がオンすると，コンデンサC₁を介してQ₂のベース電圧(V(b2))を引き下げるため，Q₂がオフします．引き下げられたV(b2)は，R₂によってC₁が充電されるため，徐々に上昇していきます．V(b2)が0.5V程度になるとQ₂がオンします．Q₂がオンすると，コンデンサC₂を介してQ₁のベース電圧(V(b1))を引き下げるため，今度はQ₁がオフします．引き下げられたV(b1)は，R₁によってC₂が充電され，0.5V程度になるとQ₁がオンします．これを繰り返すことで発振状態を継続します．

●無安定マルチバイブレータの発振周波数
　次に無安定マルチバイブレータの発振周波数がどのように決まるかを考えてみます．Q₁がオンしている0.25sec～0.5secまでの期間は，V(b1)の電圧が0.7Vになっています．V(b2)が0.5Vになったとき，Q₂がオンします．するとV(out)は，5Vから0Vまで一気に下がり，それに連動してV(b1)も0.7Vから-4.3Vまで一気に下がります．このときの電圧を式で表すと「V(b1)=0.7-V_CC」となります．その後C₂は，R₃によって充電されるため-4.3Vから5Vに向かって徐々に上昇していきます．このときのV(b1)の時間的変化は，式1に従います．
　V(b1)の電圧が上昇し，0.5V程度になるとQ₁がオンし，Q₂がオフします．Q₂がオフしてV(out)が上昇するとそれに連動してV(b1)の電圧も上昇しますが，トランジスタのベースに直結されているため，V(b1)の電圧は，0.7Vでクランプされることになります．
　ここで，Q₁がオンするまでの時間(T1)は，C₂が-4.3Vから0.5Vになるまでの時間です．式1のEに相当する電圧は，電源電圧をV_CCとすると式6で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

　初期電圧は0.7-V_CCです．これが，0.5Vになるまでの電圧の増加量ΔVは，式7になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

　ΔVの最終電圧に対する比率(k)は，式8で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

　つまり，ΔVは最終電圧の51.6%に相当し，この電圧になるまでの時間がT1になります．そこで，式8を式5に代入し，式9が得られます．

・・・・・(9)

　同様にQ₂がオンするまでの時間(T2)は，式10になります．

・・・・・(10)

　発振周期は，T1とT2を足したものなので「R₃=R₂=R_B」，「C₁=C₂=C」とすると，発振周波数(f)は最終的に式11となります．

・・・・・(11)

　式11から図4および図1の回路の発振周波数は，1.9Hzとなることがわかります．図5のシミュレーション結果も発振周波数は，約1.9Hzとなっています．
　なお，式8で「k=0.516」と計算していますが，これを0.5と近似すると式11は，式12になります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

　無安定バイブレータの発振周波数の計算式としては，式12も広く使われています．

解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice2_025.zip

●データ・ファイル内容
RC.asc：図3の回路
ASMB.asc：図4の回路

■LTspice関連リンク先