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　図1の回路(a)と(b)ともに抵抗分圧により，電源電圧の1／2の電圧を出力する回路です．回路(a)は10KΩの抵抗2本で分圧回路を構成し，回路(b)は2kΩの抵抗を5本直列にしたものを2組使用して分圧回路を構成しています．この回路の電源電圧は10Vで，出力電圧のスペックは5V±2.5%とします．
　どちらの回路にも，一様分布で±5%のばらつきのある抵抗を使用し，1000台ずつ製作した場合，不良率が低いのはどちらの回路でしょうか？ただし，電源電圧のばらつきや，OPアンプのオフセット電圧のばらつきは無いものとして考えます．

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回路(b)
　ばらつきのある抵抗を複数本直列に接続すると，合成抵抗値のばらつきの分布を改善することができます．そのため，回路(b)の2kΩの抵抗5本を2組使用した分圧回路のほうが，出力電圧のばらつきが小さく，5V±2.5%のスペックで選別した時の不良品率が小さくなります．

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●誤差のワースト値と誤差の分布
　今回のように，ばらつきのある部品を使用して製品を作る場合，特性の分布と特性のワースト・ケースの値は分けて考える必要があります．

▼誤差のワースト値
　回路(b)の5本直列にしたものを簡単に解説するために，まず，±5％の誤差をもったRΩの抵抗を2本直列にした場合について考えてみます．誤差のワースト値ですが，当然2本の抵抗がともに+5%もしくは-5%の時に誤差が最大になります．抵抗が大きくなる方向で考えると，合成抵抗R_Tは式1となります．

・・・・・・・・(1)

　この合成抵抗の誤差は，式2となり，もとの抵抗と同じ5%の誤差，ということになります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

▼誤差の分布
　次は，合成抵抗値の分布について考えてみます．もし，一方の抵抗が+5%で，もう一方の抵抗が-5%だった場合，合成抵抗は式3となり，誤差は打ち消されてしまいます．

・・・・・・・・・・・・(3)

　このように誤差が打ち消される組み合わせが発生するため，個々の抵抗の誤差が一様分布だったとしても，合成抵抗はセンタ値付近の値の発生頻度が多い分布となります．直列に接続する抵抗を多くすれば，よりセンタ値付近の発生頻度が多く，分布の幅は狭くなっていきます．
　統計的な考え方が必要になるため，少し分かり難いのですが，どのように狭くなっていくかを計算してみます．まず，抵抗値RΩの抵抗において，最大誤差が±ΔRで分布の形は一様分布となる抵抗で考えます．この抵抗の標準偏差はΔR/√3となりますが，ここではこれをσとします．標準偏差がσなので，分散値はこれを二乗してσ²となります．この抵抗をN個直列にすると抵抗値はN*Rになり，分散値はN*σ²となります．合成抵抗の標準偏差をσ_Tとすると，式4となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

　一個あたりの抵抗に換算した標準偏差をσ_Sとすると式5となります．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

　このように，合成抵抗の標準偏差（ばらつきの度合い）は元の抵抗の標準偏差の「直列個数の平方根分 の1」になり，分布がせまくなります．

●LTSpiceで抵抗の分布を検証する
　LTSpiceには，部品のばらつきをシミュレーションする時に便利な，モンテカルロ解析という機能があるので，これを使って検証していきます．
　図2は，抵抗値の分布をシミュレーションするための回路です．10kΩで±5%の一様分布の誤差が発生する抵抗に，1mAの電流を流しています．このため，出力電圧は10V±0.5Vとなるはずです． tolという変数に0.05(精度5%）という値を代入し，R1の抵抗値を{mc(10k,tol)}と指定して一様分布な誤差を発生させます． 「.step param X 1 1000 1 」の中のXは，ダミー変数で，モンテカルロ解析の回数を指定します．

　図3がシミュレーション結果です．横軸は試行回数で，縦軸はV(out1)/I(I1)をプロットし，抵抗値として表示させていいます．抵抗値は10K±0.5KΩの間でほぼ一様に分布していることがわかります．

　図4は2kΩの抵抗を5本直列に接続した場合の抵抗値の分布を調べるための回路です．図3と同様なシミュレーションを行った結果が図5になります．縦軸のレンジは図3と揃えてありますが，抵抗値の分布が図3に比べて狭くなっていることがわかります．

　このように抵抗を直列に多数接続することによって，元の抵抗よりも抵抗の分布の幅を狭くすることができます．抵抗の並列接続でも同様な効果が得られます．図6は50kΩの抵抗5本を並列接続した時の抵抗値の分布を調べるための回路です．図7がそのシミュレーション結果です．図5と同様に抵抗値の分布が狭くなっています．

　LTSpiceの波形ビューアでもおおまかな分布の形はわかりますが，表計算ソフトで抵抗値の度数分布グラフを作成すると，よりわかり易くなります．データを表計算ソフトに取り込むために，波形ビューアをアクティブにして[File][Export]とします．すると，拡張子が「TXT」のファイルが出力されます．このファイルの拡張子をCSVに変更し，タブ区切りCSVファイルとして表計算ソフトに取り込みます．図8は，このようにして作成した抵抗値のヒストグラムデータです．抵抗値の分布の違いがよくわかると思います．

●分圧回路のばらつきのワースト・ケースを考える
　分圧回路のばらつきについて考えてみます．こちらも電圧値のワースト・ケースと分布は別々に考える必要があります．まず，図1の回路(a)の出力電圧の値が，センタ値と一番ずれるのは，それぞれの抵抗が逆方向にばらついた時です．例えば，R1が+5%，R2が-5%の時のことを考えてみます．

・・・・・(6)

　式6のように，センタ値であるVcc／2から5%低い電圧になります．R1が+5%，R2が-5%ずれると，Vrefは合計で10%ずれると勘違いしますが，ずれるのは5%です．

●回路(a)のばらつきの分布を考える
　回路(a)の分圧回路のばらつきについて考えてみます．分圧回路でも抵抗の直列接続同様，誤差が打ち消されるばらつきの組み合わせが存在します．例えば，R1とR2がともに+5%になった場合，分圧値はVcc／2となり，誤差が発生しません．
　それでは，どのような分布になるか，さっそくシミュレーションを行ってみます．図9がシミュレーション用の回路で，図10がシミュレーション結果となります．回路(a)と(b)にあったOPアンプは結果には影響しないので省略してあります．出力電圧は5V±5%（4.75Vから5.25Vの間）に分布するはずで，シミュレーション結果もそのようになっています．図10を見ると，一様分布では無く，センタ付近の個数が多いように見えますが，分かり難いので，これも表計算ソフトでヒストグラムを書かせて確認します．

　図11がそのヒストグラムです．一様分布の抵抗を使用していても，Vrefの電圧分布は一様分布ではなく，三角形の形をしていることが確認できます． 5V±2.5%(4.875V~5.125V)というスペックからはずれて不良となるのは1000回中234回でした．
　つまり，回路(a)の不良率は23.4%ということになります．±5%精度の抵抗を使用しているので，±2.5%というスペックでは，半数の50%が不良になってしまいそうですが，そうならないところが面白いところです．

●回路(b)のばらつきをシミュレーションする
　最後に，回路(b)の回路をシミュレーションしてみます．図12がシミュレーション用の回路です．図13がそのシミュレーション結果ですが，図10の結果と比べ，明らかに分布の幅が狭くなっていることがわかります．

　図14は，図13のシミュレーション結果のヒストグラムを，図11のヒストグラムに重ね書きしたものです．5V±2.5%(4.875V~5.125V)というスペックからはずれて不良となるのは1000回中4回でした．つまり，回路(b)の不良率は，わずか0.4%ということになります．回路(a)の不良率は23.4%でしたから，今回の問題の回答は，「回路(b)のほうが不良率が低い」ということになります．

　このように，複数の抵抗を組み合わせることで，ばらつきの分布を改善することが可能です．ただし，分布を狭くすることは可能ですが，ワースト・ケースの値が発生する確率が0になるわけではない点に注意が必要です． 　今回は抵抗分圧回路で説明しましたが，この手法をアンプのNF抵抗などに応用して，アンプのゲインのばらつきを改善することなどが可能です．

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解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice018.zip

●データ・ファイル内容
MonteCarlo_1R_J.asc：図2の回路
MonteCarlo_5R_S_J.asc：図4の回路
MonteCarlo_5R_P_J.asc：図6の回路
V_Div_A.asc：図9の回路
V_Div_B.asc：図12の回路
※ファイルは同じフォルダに保存して，フォルダ名を半角英数にしてください

■LTspice関連リンク先

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(1) LTspice ダウンロード先
(2) LTspice Users Club
(3) トランジスタ技術公式サイト LTspiceの部屋はこちら
(4) LTspice電子回路マラソン・アーカイブs