トランスの巻き数と入力/出力電圧の関係



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■問題

平賀 公久 Kimihisa Hiraga

 図1は,トランス(変圧器)を使い1次側コイル(Primary)の入力電圧(vp)を2次側コイル(Secondary)の出力電圧(vs)へ変換(昇圧/降圧)する回路です.トランスの巻き数の比は,1次側コイル(Lp)の巻き数をNp,2次側コイル(Ls)の巻き数をNsとすると「Np:Ns=3:1」です.また,トランスは,漏れ磁束のない,結合係数(k)が1で,2つのコイルの内部抵抗がゼロの無損失とします.コイルのインダクタンスは,巻き数比の2乗に比例するため「Lp=900μH」,「Ls=100μH」としました.
 1次側コイルには,電圧振幅(vi)が9V,周波数(f)が100kHz,信号源抵抗(RS)が0.1Ωの交流電圧源が接続されています.この場合,2次側コイルの電圧(vs)は,次の(a)~(d)のどれでしょうか.


図1 巻き数の比「Np:Ns=3:1」となるトランスの回路
2次側コイルの電圧(vs)は何Vでしょうか?

(a) 27V,(b) 81V,(c) 1V,(d) 3V

■ヒント

 今回は,トランスの巻き数の比と入力電圧,出力電圧の比について解説します.図1の2つのコイルは,結合係数(k)が1であることから,1次側コイル(Lp)の磁束Φは,漏れることなく全て,2次側コイル(Ls)に関係しています.よって,トランスの1次側コイルの電圧は「vp=Np*(dΦ/dt)」となり,2次側コイルの電圧は「vs=Ns*(dΦ/dt)」となります.この関係より2次側コイルの電圧(vs)が求まります.

 トランスは電力システムやパワー・エレクトロニクスの分野において重要な部品です.トランスは巻き数の比により1次側と2次側で電圧を変換(昇圧/降圧)できることから,高圧の電力線から家庭の100V商用電源に電圧を降圧したり,また,ACアダプタのように,商用電源から直流を作るAC-DCコンバータやDC-DCコンバータなどに広く使われています.トランスは「トランスフォーマ(Transformer)」を略した呼び名です.

■解答


(d) 3V

 トランスの1次側コイルの電圧(vp)と2次側コイルの電圧(vs)は巻き数の比に関係し「vp/vs=Np/Ns」となります.図1の巻き数の比は「Np/Ns=3」であり,vpの電圧は9Vであることから,vsは「vs=vp/3=3V」と降圧します.逆に,巻き数の比を「Np:Ns=1:3」にすると27Vに昇圧します.

■解説

●トランスは磁気的に結合されたコイル
 図2は,2つのコイルと1つのコアからなる理想トランスのイメージ図です.コイルは導線を巻いたインダクタですが,ここではコイルと呼ぶことにします.図2は,左側のコイルを1次側,右側のコイルを2次側とし,1次側コイルの巻き数をNp,2次側コイルの巻き数をNsとして表しています.
 トランスは磁気的に結合したコイルであり,1次側のコイルに電流が流れると,磁束Φはコアが通り道となって伝わり,2次側に誘導起電力が生まれます.トランスは1次側コイルから2次側コイルに「電気-磁気-電気」と変化しながら伝送します.また2つのコイルは電気的に絶縁されていることから,高電力システムからの感電を防ぐ目的もあります.
 ドット(黒の点)は極性を示し,1次側の逆起電力と2次側の誘導起電力は,ドットの記号に対して同じ方向になり,図2の場合はvpとvsが同相となります.


図2 理想トランスのイメージ図
1次側コイルの巻き数をNp,2次側コイルの巻き数をNsとした.

●トランスの電圧,電流,電力の関係
 図3は,図2で示したトランスの回路図です.2つのコイルは磁気的に結合しており,その結合係数を図1で示したkで表します.


図3 図2で示したトランスの回路図
コイルの隣にあるドット(黒の点)は極性を示す.

 結合係数(k)は,2つのコイルの磁気的な結合の尺度であり,2つのコイルの自己インダクタンス(Lp,Ls)と,相互インダクタンス(M)は,式1の関係となります.ここで,kは「0≦k≦1」の範囲であり,kが1のときが理想トランスで,1次側コイルの磁束は全て2次側コイルに入り,完全な磁気結合の状態となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

 理想トランスの電圧,電流,電力の関係についてまとめると次のa~cのようになります.

a.理想トランスの1次側と2次側の電圧の関係
 1次側コイルの電圧(vp)と2次側コイルの電圧(vs)は,結合係数(k)を1としたとき,式2と式3の関係があります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

 式2と式3より,1次側コイルと2次側コイルの電圧の比(vp/vs)と,巻き数の比(Np/Ns)は式4となります.このように1次側と2次側の電圧の比は,巻き数の比「n=Np/Ns」に比例します.式4の関係より,図1の2次側の電圧(vs)の振幅は3Vと解答で計算しました.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
b.理想トランスの1次側と2次側の電流の関係
 トランスの1次側の電流(ip)と2次側の電流(is)は,巻き数の比により変えることができます.式5は,巻き数と電流の関係を示しました.式5を整理したものが式6であり,1次側と2次側の電流の比は,巻き数の比に反比例します.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

c.理想トランスの1次側と2次側の電力の関係
 トランスの1次側の電力(Pp)と2次側の電力(Ps)は式7と式8となります.これより1次側と2次側の電力の比は,式9となり,理想トランスの場合,電力は等しくなります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

 以上,1次側と2次側の電圧,電流,巻き数,自己インダクタンスは,aの電圧とbの電流,コイルのインダクタンスの関係から,巻き数比の2乗に比例することを使うと式10の関係となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(10)

●LTspiceで2次側コイルの電圧を確かめる
 図4は,図1の回路をシミュレーションする回路です.LTspiceでトランスを回路図エントリするとき,極性を示したインダクタはコンポーネント中の「ind2」を使います.


図4 図1をシミュレーションする回路
極性を示したインダクタはコンポーネント中の「ind2」を使う.

 結合係数(k)は,Spice Directiveを使って回路図に入れ込みます.Spice Directiveは,「Edit-> SPICE Directive」または,キーボードの「S」を押して図5のようにKステートメントを入力します.Kステートメントは,1次側コイルがLp,2次側コイルがLsで,そのときの結合係数(k)が1のとき,「k Lp Ls 1」という記述になります.詳しくは,ヘルプの検索で「K Mutual Inductance」と入力し,Kステートメントの文法をご参照ください.


図5 LTspiceで結合係数(k)を入力する画面
SPICE DirectiveでKステートメントを入力.

 電圧源の信号限抵抗は,電圧源を右クリックし,図6のように信号源抵抗0.1Ωとしています.


図6 独立電圧源の設定画面
電圧源を右クリックし,信号源抵抗値を入力する.

 図7は,図4のシミュレーション結果です.2次側コイルの電圧(vs)の振幅は,3Vであることが確かめられました.また,1次側コイル(Lp),2次側コイル(Ls)の極性(ドット)は同じ向きなので1次側コイルと2次側コイルの電圧は同相となります.


図7 図4のシミュレーション結果
2次側コイルの電圧(vs)は同相となる.

●2次側コイルの極性を反対にして電圧を確かめる
 次に2次側コイル(Ls)の極性(ドット)の向きを反対にした回路を図8に示します.


図8 2次側コイル(Ls)の極性を反対にした回路

 図9は,図8のシミュレーション結果です.図9のように,1次側コイルの逆起電力と,2次側コイルの誘導起電力が反対の向きになるので,2次側コイルの電圧(vs)は逆相となります.


図9 図8のシミュレーション結果
2次側コイルの電圧(vs)は逆相となる.

 このように,トランスの極性の向きで起こる同相と逆相は,スイッチング電源の回路方式で,同相(図4)がフォワード方式,逆相(図8)がフライバック方式となります.


■データ・ファイル

解説に使用しました,LTspiceの回路をダウンロードできます.
LTspice3_006.zip

●データ・ファイル内容
Trans1.asc:図4の回路
Trans2.asc:図8の回路

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