回路の基本的な素子コンデンサの電圧と電流



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■問題

平賀 公久 Kimihisa Hiraga

 図1は,47μFのコンデンサ(C1)に,周波数が50Hz,実効値が1Vの交流電圧V1を印加した回路です.コンデンサに流れる電流は,V1を基準にすると位相は進みます.


図1 コンデンサC1に交流電圧V1を印加した回路

 図2は,図1のV1の交流電圧v(t)とコンデンサに流れる電流i(t)を図示しました.(a)と(b)は電流の実効値が14.8mA,(c)と(d)は10.5mAです.また,(a)と(c)は,i(t)がv(t)より位相が90°進み,(b)と(d)は45°進んでいます.図1の回路で,C1に流れる電流i(t)は,図2の(a)~(d)のどれでしょうか?


図2 青線の交流電圧v(t)とC1に流れる赤線の電流i(t)を示した図
図1のC1に流れる電流は,図2の(a)~(d)のどれか.

■ヒント

 今回は,コンデンサの電圧と電流の関係について解説します.コンデンサに流れる電圧と電流は「i(t)=C1*dv(t)/dt」の関係があります.「v(t)=√2*ViSIN(ωt)」より,i(t)の時間変化を求めると分かります.

 コンデンサとは,アナログ回路やデジタル回路で使用される基本的な素子で,電源に重畳されている高周波成分の抑圧や信号に含まれる雑音を取り除くフィルタ,電圧を保持するメモリなどの働きがあります.

■解答


(a) 電流の実効値が14.8mA,i(t)はv(t)に比べ,位相が90°(π/2)進む

 コンデンサに流れる電流は,容量,電圧,時間で表すと,式1の関係があります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

 また,電圧は式2であり「ω=2πf」です.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

 図1より,コンデンサ(C1)の容量は47μF,電圧の振幅は「√2*1V」,周波数(f)は50Hzより「ω=100π」です.式2を式1へ代入し整理すると式3となります.

・・・・・・・・・・・・(3)

 式3より,電流の実効値は14.8mAで,周波数(f)は電圧と同じ50Hzです.また,式2のv(t)と比べると,位相(π/2)が90°進むことが分かります. 以上より,解答は(a)となります.


■解説

●コンデンサは誘電体を挟んで2つの電極
 図3は,2つの電極が誘電体によって分離されたコンデンサのモデルを使い,図1を書き直しました.コンデンサは誘電体を挟んで2つの電極があります.2つの電極は,距離がDだけ離れており,誘電体の誘電率をε,また,2つの電極間の電界をEとして表しています.
 コンデンサに電圧を印加すると,1つの電極に電子が集まって-qとなり,もう1つの電極には電子が少なくなって+qとなります.コンデンサに交流電圧を印加したとき,+qと-qの状態が入れ替わり,充放電を繰り返すことから交流電流を通す動作となります.コンデンサの単位はファラド(F)を使い,1秒間に電流が1A変化したとき,電圧が1V変化すれば1Fとなります.


図3 図1をコンデンサのモデルを使い書き直した図

●コンデンサの電圧と電流の比例関係を導く
 ここでは図3用いて,コンデンサの電圧と電流の関係を導き,コンデンサの性質を理解します.図3の電極の面積をA,誘電体の誘電率をεとすれば,電界(E)は式4となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

 コンデンサの電極間の電圧は式4と2つの電極間の距離(D)より,式5となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

 電流は電荷の時間変化ですので,式5を使うと,式6となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

 また,コンデンサの静電容量は電極の面積(A),誘電率(ε),電極間の距離(D)より,式7で表せます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

 式7を使って式6を書き直すと,コンデンサに流れる電流は式8となり,解答の計算で使った最初の式1が導出されました.解答では式8を使い,電流の実効値と位相を調べています.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

 また,式8より,コンデンサに電流を印加したときの電圧変化は式9となります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(9)

 コンデンサの電流と電圧の比例関係は,式8と式9です.オームの法則である抵抗(R),電圧(V),電流(I)の比例関係「V=RI」と同じように,式9の積分した電流は電圧と比例関係にあることが分かります.例えば,定電流源でコンデンサを充電し,ある電圧までの充電時間をタイマとした回路設計では,式9を用います.

●コンデンサに流れる電流をLTspiceで確かめる
 図4は,図1をシミュレーションする回路で,コンデンサに流れる電流を調べます.流れる電流は,赤の矢印方向をプロットします.LTspiceでC1に流れる電流をプロットするとき,マウスをC1の上に置いて左クリックすれば表示できます.しかし,電流はGNDからV1に向かうこととなり,プロットしたい電流の方向は逆となります.演算して電流の向きをV1からGNDへ直せますが,ここでは直感的に理解しやすいように,0Vの電圧源を電流計の代わりに使用します.図4では,V2のプラスからマイナス方向へ流れる電流を表示させます.


図4  コンデンサに流れる電流をシミュレーションする回路

 図5は,図4のシミュレーション結果です.まず,電流波形の振幅をカーソルで調べると20.9mAです.これは,√2×14.8mAと同じであり,解答の実効値と同じであることが分かります.


図5  図4のシミュレーション結果

 実効値は,LTspiceでも求めることができ,図5のプロットで,電流波形のラベルの上にマウス・カーソルを置き「Ctrl+左クリック」で図6の小さなウィンドウが開きます.この中のRMSの箇所が実効値であり,14.8mAであることが分かります.


図6 電流波形の実効値を表示
プロットしている波形のラベルの上で,Ctrlキーを押しながら左クリック

 次に電圧が0Vと交差する時間と電流が0Aと交差する時間に着目します.解答の計算で得たように,コンデンサに流れる電流は,電圧を基準とすると90°進みます.図5では,電圧が0Vと交差する時間より手前の時間で,電流は0Aと交差しており,1/4周期だけ進んでいることが分かります.1周期は360°(弧度法で2π)ですので,1/4周期は90°(弧度法でπ/2)となり,解答の計算と同じになります.


■データ・ファイル

解説に使用しました,LTspiceの回路をダウンロードできます.
LTspice3_002.zip

●データ・ファイル内容
CL_Current.asc:図4の回路

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