無安定マルチバイブレータの発振周波数はいくつ?




『トランジスタ技術』のWebサイトはこちら

■問題

小川 敦 Atsushi Ogawa

 図1は,無安定マルチバイブレータを使用した発振回路です.抵抗R1とR4が10kΩ,抵抗R2とR3が360kΩで,コンデンサC1とC2が1μFです.出力は,Out端子から取り出しています.この無安定マルチバイブレータの発振周波数(f)として,もっとも適切なのは(A)~(D)のどれでしょうか.


図1 無安定マルチバイブレータを使用した発振回路
この回路の発振周波数は?

(A) f=1/(0.726*360k*1μ)=3.8Hz
(B) f=1/(2*0.726 *360k*1μ)=1.9Hz
(C) f=1/(0.726 *10k*1μ)=138Hz
(D) f=1/(2*0.726 *10k*1μ)=69Hz


■ヒント

 図1において,トランジスタのコレクタの発振波形は,ほぼ矩形波となっています.一方,ベースの波形は半波おきの鋸歯状波です.この鋸歯状波の周期を決めている部品が何かを考えれば,答えがわかります.

 マルチバイブレータとは,発振回路だけでなく,フリップフロップやタイマなど,色々な場面で使われる回路です.二つのトランジスタが,直接あるいはコンデンサを介して,たすき掛けに接続されています.発振回路によりLEDを点滅させることなどに利用される「無安定マルチバイブレータ」,タイマ回路などに利用される「単安定マルチバイブレータ」,フリップフロップなどに利用される「双安定マルチバイブレータ」の3種類があります.

■解答


(B)

 図1の回路のQ1,Q2は,交互にオン・オフを繰り返します.Q1がオフしている時間の長さは,抵抗R3とC2で決まり,その時間(T1)は「T1≒0.726*360k*1μ」となります.また,Q2がオフしている時間の長さは抵抗R2とC1で決まり,その時間(T2)は「T2≒0.726*360k*1μ」となります.発振の周期(T)は,T1とT2を足したものです.発振周波数(f)は,Tの逆数なので,「f=1/(2*0.726*360k*1μ)=1.9Hz」となります.つまり正解は,(B)ということになります.

■解説

●抵抗とコンデンサの過渡応答
 図1の回路の発振周波数を計算するために,まず,図2のような抵抗とコンデンサで構成された回路で,電圧をステップ状にEという電圧に変化させたときの応答を考えてみます.図2ではEは1Vとしています.


図2 抵抗とコンデンサで構成された回路
VINの初期値は0Vで1μsec後に1Vになる

 図2の回路のシミュレーション結果が図3です.入力電圧V(in)は0Vから1Vにステップ状に変化していますが,出力電圧V(out)はゆっくりと変化し,やがてV(in)と同じ電圧になります.この回路の出力電圧の時間変化の様子は式1で表すことができます.


図3 図2の回路のシミュレーション結果
出力が63.2%の電圧になる時間が時定数C*R

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

 式1でコンデンサと抵抗の値を掛け合わせたC*Rを時定数(τ)と呼びます.時間tがC*Rと等しいとき,出力電圧は「V(out)=E(1-exp(-1))=0.632*E」となり,最終電圧の63.2%の電圧になります.
 図2の定数では「τ=1μ*360k=0.36秒」です.ただし,図1の発振周期はτと違った値になります.図1の発振周期を計算するためには,最終電圧の50%程度の電圧になるまでの時間が重要になります.その時間を計算するため,まず,出力電圧が最終電圧の何割にあたるかという比率をkと置きます.kは式2で表すことができます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

 式2を変形すると,式3になります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

 式3の両辺の逆数を取り,さらに両辺の自然対数をとると式4になります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

 式4をtについて解くと式5が得られます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

 式5に「K=0.5」を代入すると「t=ln(2)C*R=0.69C*R」となり,最終電圧の50%の電圧になるまでの時間は0.69C*Rで計算できることがわかります.

●無安定マルチバイブレータの発振メカニズム
 図4は,無安定マルチバイブレータのシミュレーション用の回路図です.


図4 無安定マルチバイブレータのシミュレーション用の回路図
シミュレーション結果から,回路動作を考える

 図5は,図4の回路のシミュレーション結果です.図5のシミュレーション結果を見ながら,動作のしくみと発振周波数を考えていきます.


図5 図4のシミュレーション結果
発振周波数は約1.9Hzになっている

 V(out)とV(o2)は0Vから5Vまで変化する矩形波で,互いに逆位相となっています.まず,Q1がオフしていてQ2がオンしている状態から考えます.その状態でQ1がオンすると,コンデンサC1を介してQ2のベース電圧(V(b2))を引き下げるため,Q2がオフします.引き下げられたV(b2)は,R2によってC1が充電されるため,徐々に上昇していきます.V(b2)が0.5V程度になるとQ2がオンします.Q2がオンすると,コンデンサC2を介してQ1のベース電圧(V(b1))を引き下げるため,今度はQ1がオフします.引き下げられたV(b1)は,R1によってC2が充電され,0.5V程度になるとQ1がオンします.これを繰り返すことで発振状態を継続します.

●無安定マルチバイブレータの発振周波数
 次に無安定マルチバイブレータの発振周波数がどのように決まるかを考えてみます.Q1がオンしている0.25sec~0.5secまでの期間は,V(b1)の電圧が0.7Vになっています.V(b2)が0.5Vになったとき,Q2がオンします.するとV(out)は,5Vから0Vまで一気に下がり,それに連動してV(b1)も0.7Vから-4.3Vまで一気に下がります.このときの電圧を式で表すと「V(b1)=0.7-VCC」となります.その後C2は,R3によって充電されるため-4.3Vから5Vに向かって徐々に上昇していきます.このときのV(b1)の時間的変化は,式1に従います.
 V(b1)の電圧が上昇し,0.5V程度になるとQ1がオンし,Q2がオフします.Q2がオフしてV(out)が上昇するとそれに連動してV(b1)の電圧も上昇しますが,トランジスタのベースに直結されているため,V(b1)の電圧は,0.7Vでクランプされることになります.
 ここで,Q1がオンするまでの時間(T1)は,C2が-4.3Vから0.5Vになるまでの時間です.式1のEに相当する電圧は,電源電圧をVCCとすると式6で計算できます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

 初期電圧は0.7-VCCです.これが,0.5Vになるまでの電圧の増加量ΔVは,式7になります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)

 ΔVの最終電圧に対する比率(k)は,式8で計算できます.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)

 つまり,ΔVは最終電圧の51.6%に相当し,この電圧になるまでの時間がT1になります.そこで,式8を式5に代入し,式9が得られます.

・・・・・(9)

 同様にQ2がオンするまでの時間(T2)は,式10になります.

・・・・・(10)

 発振周期は,T1とT2を足したものなので「R3=R2=RB」,「C1=C2=C」とすると,発振周波数(f)は最終的に式11となります.

・・・・・(11)

 式11から図4および図1の回路の発振周波数は,1.9Hzとなることがわかります.図5のシミュレーション結果も発振周波数は,約1.9Hzとなっています.
 なお,式8で「k=0.516」と計算していますが,これを0.5と近似すると式11は,式12になります.

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

 無安定バイブレータの発振周波数の計算式としては,式12も広く使われています.


■データ・ファイル

解説に使用しました,LTspiceの回路をダウンロードできます.
LTspice2_025.zip

●データ・ファイル内容
RC.asc:図3の回路
ASMB.asc:図4の回路

■LTspice関連リンク先


(1) LTspice ダウンロード先
(2) LTspice Users Club
(3) トランジスタ技術公式サイト LTspiceの部屋はこちら
(4) LTspice電子回路マラソン・アーカイブs
(5) LTspiceアナログ電子回路入門・アーカイブs

トランジスタ技術 表紙

CQ出版社オフィシャルウェブサイトはこちらからどうぞ

CQ出版の雑誌・書籍のご購入は、ウェブショップで!


CQ出版社 新刊情報



Interface 2017年 7月号

ラズパイ実験室 はじめてのIoT 2017

CQ ham radio 2017年 6月号

特集 144/430MHzの魅力再発見!

トランジスタ技術 2017年 6月号

特集 スマホ&大画面計測!私のハイパー実験室

Interface 2017年 6月号

新・科学計算ソフト ウルトラ大集合 DVD付き