位相余裕が安定ギリギリの45°になるI-V変換器はどっち？
図1の回路(a)と(b)は，フォト・ダイオードからの電流信号を電圧に変換する電流-電圧変換器（I-V変換器）です．OPアンプは，GB積（ゲイン帯域幅積）が14MHzの製品を使用しています．フォト・ダイオードは，図の破線内で示すように，抵抗とコンデンサの等価回路で構成しています．二つの回路の違いは，負帰還回路のコンデンサ(Cf1，Cf2)の容量値が異なっています．このコンデンサの容量値で位相余裕が決まります．
一般的に，回路安定性を示す指標は，位相余裕が45°以上と言われていますが，回路(a)と(b)で，位相余裕が45°の回路はどちらでしょうか．
回路(a)と(b)の違いは，帰還回路のコンデンサ(Cf1，Cf2)の容量値が違っている．
回路(a)
I-V変換器の位相余裕が45°の場合，負帰還回路の帰還容量(Cf)は，回路(a)と(b)の「Cf(10pF)」，「帰還抵抗Rf(100kΩ)」，「オペアンプのGB積f3(14MHz)」の三つの値から計算できます．計算式は，「Cf＝√C1/2πRf1f3」となり「Cf＝1.07pF」となります．これにより，回路(a)が位相余裕45°の回路となります．一方，回路(b)は位相余裕が45°よりも増え，回路(a)より負帰還は安定します．
●出力電流を電圧に変換するI-V変換器
I-V変換器は，入力電流に比例した出力電圧を得ることができ，フォト・ダイオードやD-Aコンバータ(DAC)の出力電流を電圧に変換する場合に使用されます．
まず，図1の回路(a)と(b)のI-V変換器をオペアンプと抵抗[帰還抵抗(Rf)]，コンデンサ[帰還容量(Cf)]で構成するのかを解説します．
図2(a)は，フォト・ダイオードに照射された光量で生じた電流[ii(s)]を抵抗(R)のみで電圧に変換する例です．この回路は，電流[ii(s)]と抵抗(R)による電圧降下分だけ，出力電圧[vo(s)]も下がり，フォト・ダイオードの逆バイアス電圧も下がります．図2(a)の欠点は，フォト・ダイオードは，図1の等価回路に示したように，有限の出力抵抗（R1またはR2）を持ち，逆バイアス電圧の変化と出力抵抗により，フォト・ダイオードの電流[ii(s)]以外の誤差電流が発生します．
(a)抵抗１個で電圧に変換する例．
(b)I-V変換器で電圧に変換する例．
一方，図2(b)は，フォト・ダイオードに照射された光量で生じた電流[ii(s)]をI-V変換器により電圧に変換する例です．この回路は，帰還容量(Cf)のインピーダンスが帰還抵抗(Rf)に比べて十分大きい低周波帯の場合，帰還抵抗(Rf)により電圧に変換されます．この回路の場合，フォト・ダイオードに印加される逆バイアス電圧は，オペアンプのバーチャル・ショートの電圧で一定になり，図2(a)より誤差電流を抑えることができます.
I-V変換器に使用されるOPアンプは，入力バイアス電流が小さく，低雑音にするためJFET（Junction Field Effect Transistor）入力のOPアンプを使用します．雑音に関しては過去配信した「023 信号源抵抗が大きい回路でノイズが少ないプリアンプはどっち？」を参照してください．
●I-V変換器は帰還容量で負帰還の補償をする
I-V変換器は，負帰還の補償として，帰還抵抗(Rf)と帰還容量(Cf)を並列に接続しなければ，不安定になります．不安定になる原因は，OPアンプの反転端子とフォト・ダイオードの接地間に「フォト・ダイオードの接合容量」，「配線の浮遊容量」，「OPアンプの入力容量」があるためです．図1の回路(a)と(b)のフォト・ダイオード等価回路の「C1とC2」はこれらの合算値になります．「C1とC2」による不安定な状態は，帰還容量(Cf)で補償されます．帰還容量(Cf)で補償される様子を図3(a)(b)で解説します．
図3(a)は，フォト・ダイオードを等価回路で表した「I-V変換器ゲイン[vo(s)/ii(s)]」を調べる回路です．図3(b)は，図3(a)の「ループ・ゲイン」，「オープン・ループ・ゲイン」，「ノイズ・ゲイン」を調べるために，ループを切った回路になります．ここでは，結果を分かりやすくするために，OPアンプは，直流のオープン・ループ・ゲインが120dBで，GB積が10MHzの理想オペアンプを使用しました．また，帰還容量(Cf)のインピーダンスが帰還抵抗(Rf)に比べて十分大きい低周波帯とするために「C1>Cf」，「R1>Rf」としています．
ここで，OPアンプのオープン・ループ・ゲインを「A(s)」，帰還率を「β(s)」，ノイズ・ゲインを「1/β(s)」とします．図3(b)の測定点「A」，「B」，「C」で説明すると，オープン・ループ・ゲインは「A/C」になります．ループ・ゲインは「A/B」となります．ノイズ・ゲインは「B/C」となります．これらをグラフにプロットしたものが図4になります．
図4上段で「補償なし」の破線は帰還容量(Cf)が無い場合です．図4下段で，帰還容量（Cf）が無い「位相（補償なし）」場合は，f2より高い周波数では位相余裕が0°で不安定です．負帰還の補償として，帰還容量（Cf）を入れることにより，f2の周波数でゼロ点を作り，「位相（補償あり）」のように位相を戻します．位相を戻している場合，f2は，位相余裕が45°を得られる周波数です．f2の周波数を図4上段でみると，f1の周波数（2nd poleになる周波数）から+20dB/decの傾きで上がり始めたノイズ・ゲインと，-20dB/decの傾きで下がるOPアンプのオープン・ループ・ゲインの交点であることが分かります．
●位相余裕を45°にする帰還容量を見積もる
図4上段で示した位相余裕が45°になるf2は，帰還容量(Cf)で作ります．ここでは，その計算方法について解説します．まず，図4上下段のf1とf2を計算します．図3(b)の回路で，ノイズ・ゲインは式1となり，τ1（ノイズ・ゲインのゼロ点）は式2，τ2（ノイズ・ゲインのポール）は式3となります．τ1は「C1>Cf」，「R1>Rf」の場合，出力抵抗(R1)と帰還容量(Cf)が無視できます．f1は，式4で近似値が算出できます．次に，f2はτ2より式5となります．
ノイズ・ゲインは式1になります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)
τ1は式2．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)
τ2は式3．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)
式4で近似値が算出できます．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
f2はτ2より式5となります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)
次にf2をf1，f3で表すと式6となります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)
式5と式6よりCfは式7となります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(7)
位相余裕45°となる帰還容量(Cf)は，式7を使いC1，Rf，f3（ここでf3はOPアンプのGB積）の三つの値で計算できます．図1の回路(a)の三つの定数を式7に代入すると式8になり，位相余裕45°となる帰還容量(Cf)は1.07pFとなります．
・・・・・・・・・・・・・・・・・(8)
次は，以上の結果をシミュレーションで確かめます．
●I-V変換器の特性をLTspiceで確かめる
まず，図1の回路(a)と(b)のループ・ゲインと位相カーブから位相余裕を確認します．図5は，Middle Brook法で図1回路(a)のループ・ゲインと位相を調べる回路です．
図6は，図5のシミュレーション結果となります．図6の位相余裕は43°であり，式8の値とほぼ等しいことがわかります．
図7は，Middle Brook法で図1の回路(b)のループ・ゲインと位相を調べる回路です．
図8は，図7のシミュレーション結果です．図8は「Cf＝2pF」の条件で位相余裕が67°あります．このように帰還容量(Cf)の値を大きくすると位相余裕が増えていきます．
図9は，図1の回路(a)と(b)のI-V変換ゲインを調べる回路です．
図10は，図9のシミュレーション結果です．I-V変換器ゲインの帯域幅は式5となります．式5を使った計算では，回路(a)が1.59MHzになり，回路(b)が796kHzになります．これらの値は，図10のシミュレーション結果と同じになっています．回路(a)のゲインにピークがあるのが位相余裕が43°のためです．
図11は，過渡解析で出力波形を調べる回路です．信号電流は1μAで，立ち上がり/立ち下がり時間が1nsで，50kHzの矩形波を入力しました．
図12は，図11のシミュレーション結果です．図12上段[回路(a)で位相余裕が43°の場合]は，パルスの立ち上がりと立ち下がりで，オーバーシュートやアンダーシュートが出ています．また，図12下段[回路(b)で位相余裕が67°の場合]は，オーバーシュートやアンダーシュートは抑えられて．回路(a)に比べて安定しています．
●位相余裕の45°は回路安定の目安
I-V変換器の位相余裕を45°にする帰還容量(Cf)は計算で算出でき，これが設計する場合，一つの目安となります．ただし，位相余裕45°の場合は，I-V変換ゲインにピークがあり，過渡解析では，オーバーシュートやアンダーシュートが発生します．計算で求めた位相余裕を45°の帰還容量(Cf)を元に，シミュレーションのAC解析で位相余裕やゲイン余裕を確認し，過渡解析での波形を調べながら，回路定数を詰めていくのが良いでしょう．また，図11の過渡解析の回路で帰還容量(Cf)を削除すると，出力の発振する波形の様子が確認できますので，ぜひ試してください．
解説に使用しました，LTspiceの回路をダウンロードできます．
LTspice043.zip
●データ・ファイル内容
LoopGain_A.asc：図5の回路
LoopGain_B.asc：図7の回路
TransImpedance_AC.asc：図9の回路
TransImpedance_Tran.asc：図11の回路
※ファイルは同じフォルダに保存して，フォルダ名を半角英数にしてください
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