ミラー効果でカットオフ周波数が低くなるのはどっち？

■問題

小川　敦　Atsushi Ogawa

　図1の回路(a)と(b)は，どちらもゲイン26dBの広帯域アンプです．回路(a)は，トランジスタQ1aのコレクタが出力となっています．回路(b)はQ2bのコレクタが出力になっています．この回路に出力インピーダンス1kΩの信号源から信号を加えた時，カットオフ周波数が低い（帯域が狭い）のはどちらの回路でしょう？

図1　広帯域差動アンプ
回路(a)はQ1aのコレクタから出力しOutAで計測する
回路(b)はQ2bのコレクタから出力しOutBで計測する
この回路は，計測しやすくするために，回路(a)と(b)を一つの回路にする

■解答

回路(a)
　回路(a)と(b)は，ともに差動アンプで，回路(a)はQ1aのコレクタから出力している，反転アンプとなります．そのため，Q1a内のコレクタ・ベース間のコンデンサの容量がミラー効果により「ゲイン+1」(20+1)倍の大きさとして働きます．その結果，R3aとQ1aで構成されるハイ・カット・フィルタのカットオフ周波数は，回路(b)よりも低くなり，回路(a)のほうが，カットオフ周波数の低いアンプとなります．
　ミラー効果は，回路(a)と(b)のような広帯域アンプでは，カットオフ周波数を下げ，邪魔になる効果です．しかし，大きなコンデンサを内蔵することのできない集積回路では，ミラー効果を積極的に使用することもあります．

■解説

●LTspiceで周波数特性を確認
　まず，回路(a)と(b)の周波数特性を図2で確認します．カットオフ周波数は，図3からも読み取れますが，「.MEAS」コマンドを使うことで，エラー・ログに数値として表示させることができます．コマンドは「.MEAS AC tmpA max mag(V(OutA))」と記述して，OutA端子の信号の最大値をtmpAという変数に格納します．
　次に「.MEAS AC CfrqA when mag(V(OutA))=tmpA/sqrt(2) FALL=1」を追加します．このコマンドは，「ゲインが減衰していき，tmpAの√2分の1(-3dB)となった周波数をCfrqAという変数に格納しろ」という意味になります．この CfrqAが高域カットオフ周波数になります．
　OutBに関しても同様のコマンドを追加しておきます．図3が図2の回路の計測結果です．エラー・ログには次のようにCfrqA,CfrqBが表示され，カットオフ周波数はそれぞれ，0.997MHzと4.66MHzであることがわかります．

図2　回路(a)と(b)の周波数特性を確認するLTspiceの回路

エラー・ログ出力

cfrqa: mag(v(outa))=tmpa/sqrt(2) AT 997850
cfrqb: mag(v(outb))=tmpb/sqrt(2) AT 4.6597e+006

図3　回路(a)と(b)の周波数特性の計測結果

●ミラー効果を解析する
　回路(a)のカットオフ周波数を低くした原因のミラー効果について考えます．ミラー効果（Miller effect)は，1920年にJohn Milton Miller氏によって発表された現象で，反転アンプの入出力に接続されたコンデンサの容量が，「ゲイン+1」倍に見える効果です．トランジスタは図4左のような構造になっています．構造上，コレクタ・ベース間にはPN接合による寄生容量が図4右のようにできます．この寄生容量が回路(a)ではミラー効果により，「ゲイン+1」(20+1)倍の大きさとして働き，カットオフ周波数を下げていました．図5がそのミラー効果を説明するための回路です．

図4　トランジスタの構造とコレクタ・ベース間の寄生容量

図5　ミラー効果を解析するための回路
C1がミラー容量

　E1は理想アンプとして働き，反転アンプなので，ゲインは「－Ａ」となっています．コンデンサC（ミラー容量）1は入力端子とアンプ出力にそれぞれ接続されています．まず，コンデンサのインピーダンスを式(1)とします．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

コンデンサに流れる電流をiinとすると

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(3)

式(2) と(3)より，

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)

ここで，VINから見たインピーダンスZinは式(5)で計算できます．

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)

(1) ，(4)，(5)より，
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)

(1)と(6)を比較すると，図3の回路は，コンデンサが(1+A)倍になったかのように働くことがわかります．

●理想アンプでシミュレーション
　理想アンプを使用した図6の回路で，カットオフ周波数がミラー効果により，どのように変わるのかを確認してみます．

図6　ミラー効果確認用回路

　図6(a)のミラー効果無しの方は，R1aとC1aで構成されるカットオフ周波数fca(19.89MHz)のハイ・カット・フィルタの後に，-20倍のアンプが接続されています．

　一方，図6(b)のミラー効果有りの方は，コンデンサのC1bが入力と出力の間に接続されているので，C1bは21倍の容量として働きます．つまり，(b)のミラー効果有りのカットオフ周波数は0.947MHzとなるはずです．

　図7がそのシミュレーション結果のグラフです．また，「.MEAS」によるカットオフ周波数の計測結果は次のようになります．

cfrqa: mag(v(outa))=tmpa/sqrt(2) AT 1.98944e+007
cfrqb: mag(v(outb))=tmpb/sqrt(2) AT 947459

図7　理想アンプによるミラー効果計測結果

●ミラー効果の活用法
　図1の回路ではミラー容量以外にも，カットオフ周波数を決める要素がいろいろあるため，カットオフ周波数の差はそれほど大きくありません．理想アンプによるシミュレーションでは，正確にゲイン倍のカットオフ周波数の変化が発生しています．
　図1の回路(a)と(b)ような広帯域アンプでは邪魔になるミラー効果ですが，大きなコンデンサを内蔵することのできない集積回路では，図8のように，アンプの位相補償回路などで，ミラー効果を積極的に使用することもあります．